Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚13
Questions de cours
Question n˚ 1
D´efinition de la partie enti`ere d’un nombre r´eel ; d´efinition et graphe de la fonction partie enti`ere ; propri´et´es de la partie enti`ere (´enonc´e et preuve) ; d´efinition formelle d’un intervalle deR; simplification de⌊x⌋+⌊−x⌋pour toutx∈R.
Question n˚ 2
D´efinition de la courbe repr´esentative d’une fonction ; courbe repr´esentative de la r´eciproque d’une fonction bijective (´enonc´e et preuve) ; preuve de la bijectivit´e de f: [1,+∞[→[−3,+∞[ ;x 7→x2−2x−2 et trac´e de la courbe repr´esentative def−1.
Question n˚ 3
D´efinition et propri´et´e de la courbe repr´esentative d’une fonction paire (resp. impaire, p´eriodique) ; ´etude de la fonctionf:x7→ 1
1 + cos(2x). Question n˚ 4
Monotononie et strictement monotonie d’une fonction (6 d´efinitions) ; si f:I → R et g: J → R sont deux fonctions strictement d´ecroissantes telles quef(I)⊂J alorsg◦f:I→Rest strictement croissante (preuve) ; application du r´esultat pr´ec´edent `a l’´etude du sens de variation de la fonctionf: ]2,+∞[→R; x7→ 1
2−x.
Chap. 3 − L’ensemble R des nombres r´ eels
• Construction de la partie enti`ere d’un nombre r´eel (existence et unicit´e).
• D´efinition de la partie enti`ere d’un nombre r´eel.
• D´efinition et graphe de la fonction partie enti`ere.
• Propri´et´es de la partie enti`ere (e.g. E est crois- sante etE−idR est p´eriodique, de p´eriode 1).
• Entre deux r´eels distincts, il existe toujours un nombre rationnel.
• D´efinition des valeurs d´ecimales approch´ees par d´efaut (resp. par exc`es) d’un nombre r´eel.
• D´efinition formelle d’un intervalle deR.
• Classification des intervalles deR(10 types).
Chap. 4 − Fonction r´ eelle de la variable r´ eelle
• D´efinitions d’une fonction, de l’ensemble de d´efinition d’une fonction et de l’application as- soci´ee `a une fonction.
• D´efinition de la courbe repr´esentative d’une fonc- tion.
• Fonction paire (d´efinition et sym´etrie de la courbe repr´esentative).
• Fonction impaire (d´efinition et sym´etrie de la courbe repr´esentative).
• Fonction p´eriodique (d´efinition et propri´et´e de la courbe repr´esentative).
• R´eduction du domaine d’´etude d’une fonction par p´eriodicit´e (resp. parit´e, imparit´e).
• Courbe repr´esentative de la r´eciproque d’une fonction bijective.
• Op´erations sur les fonctions : somme de deux fonctions, multiplication d’une fonction par un scalaire, produit de deux fonctions, inverse d’une fonction qui ne s’annule pas, quotient d’une fonc- tion par une autre qui ne s’annule pas, compos´ee d’une fonction par une autre lorsque celle-ce est d´efinie.
• D´efinition d’une application croissante (resp.
d´ecroissante, monotone).
• D´efinition d’une application strictement crois- sante (resp. strictement d´ecroissante, strictement monotone).
• D´efinition d’une fonction major´ee (resp. minor´ee, resp. born´ee).
• Crit`ere pour qu’une fonction soit born´ee (cf.
≪ˆetre major´ee en valeur absolue≫).
• Notion de limite pour une fonction : pr´esentation intuitive, limites usuelles, op´erations sur les li- mites, formes ind´etermin´ees, composition de li- mites.
• D´efinition de la continuit´e d’une fonction en un point (resp. sur un intervalle).
• Interpr´etation graphique de la continuit´e sur un intervalle.
• Continuit´e des fonctions usuelles.
• Op´erations sur les fonctions continues.
• D´efinition du taux d’accroissement d’une fonc- tion en un point.
• D´efinition de la d´erivabilit´e d’une fonction en un point (resp. sur un intervalle).
• D´efinition du nombre d´eriv´e d’une fonction en un point o`u celle-ci est d´erivable.
• Interpr´etation graphique de la d´erivabilit´e en un point et du nombre d´eriv´e en ce point.
• D´efinition et ´equation r´eduite de la tangente `a la courbe repr´esentative d’une fonction d´erivable en un point.
• D´efinition de la fonction d´eriv´ee d’une fonction d´erivable sur un intervalle.
• D´erivabilit´e et d´eriv´ees des fonctions usuelles.
• Op´erations sur les fonctions d´erivables.
• Etude d’une fonction : domaine de d´efinition,´ p´eriodicit´e ´eventuelle, parit´e ´eventuelle, r´eduction ´eventuelle du domaine d’´etude, d´erivabilit´e et d´eriv´ee, sens de variation, li- mites ´eventuelles aux bornes du domaine d’´etude et interpr´etation graphique, trac´e de la courbe repr´esentative.
