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2. Soit A une partie de E. Donner une d´ efinition de l’int´ erieur, de l’adh´ erence et de la fronti` ere de A.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

2018-2019 MAT303–UGA

Interrogation 1

Questions de cours. Soit E un R -espace vectoriel muni d’une norme k · k.

1. Donner la d´ efinition d’un ouvert de (E, k · k), puis d’un compact.

2. Soit A une partie de E. Donner une d´ efinition de l’int´ erieur, de l’adh´ erence et de la fronti` ere de A.

3. Soit k · k 0 une autre norme sur E. Que signifie que les normes k · k et k · k 0 sont

´ equivalentes ?

Exercice 1. On note O le point (0, 0) ∈ R 2 .

1. Rappeler la d´ efinition des normes k · k ∞ et k · k 1 sur R 2 .

2. Repr´ esenter sur un mˆ eme dessin les boules ferm´ ees ¯ B k·k

∞

(O, 1) et ¯ B k·k

1

(O, √ 2).

3. D´ ecrire le sous-ensemble de R 2

A = n

v ∈ R 2 : min

kvk ∞ , √ 1

2 kvk 1

≤ 1 o

en termes des ensembles de la question pr´ ec´ edente et le repr´ esenter.

4. L’application N d´ efinie sur R 2 par : ∀v ∈ R n , N (v) = min

kvk ∞ , √ 1

2 kvk 1

est-elle une norme ? Justifier (on pourra utiliser la question pr´ ec´ edente).

Exercice 2. Soit f : R 2 → R l’application d´ efinie par : ∀(x, y) ∈ R 2 , f (x, y) = |y + cos(x)|.

1. D´ ecrire et repr´ esenter f −1 (] − ∞, 2[).

2. Cet ensemble est-il born´ e ?

3. Montrer que cet ensemble n’est pas un ferm´ e de R 2 .

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