Etant donn´e une matrice A∈ Mnn, donner la d´efinition deρ(A) (rayon spectral deA)

MT09-P2003- Examen partiel- Questions de cours Dur´ee : 30mn.

Sans documents ni machines `a calculer

Exercice 1

On d´efinitt₀ = 0, t₁= 1, t₂= 3, f(t₀) = 1, f(t₁) = 0, f(t₂) = 4.

1. Utiliser les diff´erences divis´ees pour d´eterminer le polynˆome p de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2 tel quep(t_i) =f(t_i), i= 0,1,2.

2. Donner l’expression dep dans la base de Lagrange. Comparer.

Exercice 2

1. Etant donn´e une matrice A∈ Mnn, donner la d´efinition deρ(A) (rayon spectral deA).

2. On d´efinit A= 4 0

−3 −5

!

, calculerρ(A).

3. CalculerA^TA etρ(A^TA).

4. Que vautkAk2 (norme matricielle subordonn´ee `a la norme vectorielle euclidienne) ? Exercice 3

On rappelle la m´ethode de Cholesky permettant de factoriser une matrice A ∈ Mnn sym´etrique d´efinie positive sous la forme A = CC^>, o`u C est une matrice triangulaire inf´erieure inversible, C∈ Mnn.







c11 = √ a11, ci1 = ai1

c11

, i >1,



















c_jj = v u u ta_jj−

j−1

X

k=1

c²_jk , j >1, c_ij = 1

cjj



a_ij−

j−1

X

k=1

c_ikc_jk



, 1< j < i.

1. Ecrire l’algorithme de la m´ethode de Cholesky.

2. D´eterminer la d´ecomposition de Cholesky de la matrice A=







1 1 2 1 5 4 2 4 6







MT09-P2003- Examen partiel Dur´ee : 1h30.

Polycopi´es de cours autoris´es

Question de cours d´ej`a trait´ee : 5 points

Exercice 1: (bar`eme approximatif : 5 points)

1. Soient M₁ et M₂ deux matrices appartenant `a Mnn(IR), on suppose que M₂ est inversible, montrer qu’alors M1M₂⁻¹ etM₂⁻¹M1 ont les mˆemes valeurs propres.

2. SoitA ∈ Mnn(IR), on d´ecomposeA conform´ement aux notations du cours enA=D−E−F, on suppose queA^T est une matrice `a diagonale strictement dominante.

(a) Montrer queDest inversible.

(b) On d´efinit C= (E+F)D⁻¹, exprimer les coefficients deC `a l’aide des coefficients de A.

(c) Montrer que kCk₁ <1.

3. Utiliser les questions pr´ec´edentes pour montrer que la m´ethode de Jacobi utilis´ee pour r´esoudre Ax=b est convergente lorsqueA^T est une matrice `a diagonale strictement dominante.

Exercice 2: (bar`eme approximatif : 10 points + 3 points pour la question facultative)

1. On rappelle que la factorisationLU d’une matrice de taillenn´ecessite de l’ordre de ⁿ₃³ multiplications- divisions et que la r´esolution d’un syst`eme lin´eaire dont la matrice est triangulaire n´ecessite de l’ordre de ⁿ₂² multiplications-divisions.

Etant donn´´ es M ∈ Mnn et c ∈ IRⁿ, ´evaluer l’ordre du nombre de multiplications-divisions n´ecessaires pour calculerM⁻¹ puisM⁻¹c(cet ordre correspond au terme de plus haut degr´e en n).

2. On d´efinit la matriceA^b∈ Mn²,n²

Ab=















A −I 0 . . . 0

−I A −I 0 . . . . . . . . . . 0 −I A −I 0 . . . 0 −I A















o`uA, I,0∈ Mnn, I matrice identit´e,0 matrice nulle.

On veut r´esoudreAx^b =b o`u b∈IRⁿ², pour ce faire on d´ecompose xetb en blocs

x=





 x1

... xn





, b=





 b1

... bn





, x_i ∈IRⁿ, b_i ∈IRⁿ

(a) On supposera que les matrices carr´ees intervenant dans les calculs sont inversibles. On veut montrer que

Axb =b⇔

( x_i=E_ix_i+1+f_i, i= 1, . . . , n−1

Gxn=c o`u Ei, G∈ Mnn, fi, c∈IRⁿ. i. Calculer la matriceE1 et le vecteurf1.

ii. Montrer queEi= (−E_i−1+A)⁻¹ etfi = (−E_i−1+A)⁻¹(f_i−1+bi) pouri= 2, ..., n−1.

iii. Expliciter Getc`a l’aide des matrices et vecteurs pr´ec´edents.

(b) D´ecrire un algorithme permettant de r´esoudreAx^b =ben utilisant la m´ethode pr´ec´edente.

(c) i. Evaluer l’ordre du nombre de multiplications-divisions n´ecessaires pour r´esoudre le syst`eme Ax^b =b par la m´ethode pr´ec´edente.

ii. Evaluer l’ordre du nombre de multiplications-divisions n´ecessaires pour r´esoudre le syst`emeAx<sup>b</sup> =bpar la m´ethode d’´elimination de Gauss sans tenir compte de la structure particuli`ere de A. Comparer.^b

(d) On suppose que n = 3, on veut ´ecrire une fonction Scilab qui ´etant donn´e la matrice A ∈ M33 et le vecteur b ∈ IR⁹ calcule la solution de Ax^b = b `a l’aide de l’algorithme pr´ec´edent. Compl´eter la fonction suivante :

function x=sol (A,b) E1=inv(...)

f1=...

....

....

x1=...

x=...

endfunction

(e) Question facultative: Ecrire une fonction Scilab x=sol (A,b)

qui ´etant donn´e la matriceA∈ Mnn et le vecteur b∈IRⁿ² calcule la solution de Ax^b =b`a l’aide de l’algorithme pr´ec´edent.

Les matricesE₁, E₂, . . . , E_n−1 seront rang´ees dans une matriceE ∈ Mn,n(n−1) de la fa¸con suivante : E= E₁ E₂ . . . E_n−1 , les vecteursf₁, f₂, . . . , f_n−1 seront rang´es dans un

vecteurf =











 f₁ f2

... fn−1













On pourra utiliser la fonction Scilab inv

3. Dans tout ce qui suit Ω est le carr´e Ω = [0,1]×[0,1], Γ est la fronti`ere de Ω, g est une fonction de IR² dans IR connue, α est une constante positive. On rappelle que ∆u= ∂²u

∂x² + ∂²u

∂y². On cherche une fonctionu de IR² dans IR v´erifiant

( −∆u(x, y) +αu(x, y) =g(x, y) pour (x, y)∈Ω

u(x, y) = 0 pour (x, y)∈Γ .

Pour cela on d´efinit un maillage de Ω en 9 points, voir figure 1. On cherche u₁, u₂, . . . , u₉ approximations deu(M1), u(M2), . . . , u(M9).

On pose h = ¹₄. En un point M = (x, y) l’´equation −∆u(M) +αu(M) =g(M) est approch´ee par −u_E−u_W −u_N −u_S+ 4u_M

h² +αu_M =g(M)

o`u uM, uE, uW, uN, uS sont des approximations de la valeur de u aux points M, E, W, N, S (ou la valeur exacte si elle est connue), voir figure 1.

Par exemple l’´equation au pointM₁ est 4u1−u2−u4

h² +αu₁ =g(M₁).

M2

M1

M4

M3

M9

M5 M

6

M8

M7

y

h x

N

S M

W E

Figure 1: le maillage de Ω (a) Ecrire les ´equations aux points M2 etM5.

(b) Montrer que le syst`eme des 9 ´equations `a r´esoudre peut s’´ecrire Au^b = b o`u A^b est de la forme indiqu´ee dans la question 2. Expliciter la matriceAet le vecteur b.

4. φ´etant une fonction r´eelle d´erivable donn´ee, on veut r´esoudre

( −∆u(x, y) +φ(u(x, y)) =g(x, y) pour (x, y)∈Ω

u(x, y) = 0 pour (x, y)∈Γ .

On d´efinit un maillage comme dans la question pr´ec´edente.

(a) Quelles sont les ´equations `a r´esoudre ?

(b) Si on r´esout ce syst`eme F(u) = 0 `a l’aide de la m´ethode de Newton quelle est l’expression de la matrice jacobienneDF(u) ?