LM223, Formes quadratiques et g´eom´etrie, 10 janvier 2010
Question de cours
1. Donner la d´efinition d’un produit scalaire.
2. Donner un exemple de produit scalaire sur l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.
Exercice 1.
Soitaun nombre r´eel. D´ecomposer en somme de carr´es la forme quadra- tique surR3 suivante :
qa(x, y, z) =x2+ (a+ 5)y2+ (a2+a+ 2)z2+ 2xz+ 4xy+ 2(a+ 3)yz.
Pour quelles valeurs deacette forme est-elle d´efinie ? positive ? n´egative ? Exercice 2.
1. Montrer que les matrices suivantes sont orthogonales :
A= 1 2
√3 1
1 −√
3
, B = 1 7
−2 6 −3
−6 −3 2
3 2 6
, C = 1 7
−2 6 −3
6 3 2
−3 2 6
.
2. D´eterminer ker(B−Id) et ker(C−Id).
3. Pour chacune des matrices pr´ec´edentes, d´ecrire g´eom´etriquement l’i- som´etrie correspondante (si c’est une sym´etrie orthogonale par rapport
`
a un sous-espaceF, d´eterminerF; si c’est une rotation deR3, donner son axe ; si c’est une rotation deR2, donner son angle)
Exercice 3.
Soit E le sous-espace vectoriel deR3 engendr´e par les vecteurs v1= (1,−1,2), v2 = (1,0,1)
D´eterminer
1. une ´equation deE,
2. une base orthonorm´ee deE, 3. une base orthonorm´ee deE⊥,
4. la projection orthogonale de (1,1,1) surE.
Exercice 4.
Soit E l’espace vectoriel des matrices 2×2 `a coefficients r´eels. Soit f l’application deE×E dansRd´efinie par
f(A, B) = 1
2(tr(A) tr(B)−tr(AB)), o`u pour tout C∈E, tr(C) d´esigne la trace de C.
1. Montrer quef est une application bilin´eaire sym´etrique.
2. Calculerf(A, A) en fonction des coefficients de la matriceA.
3. Reconnaissez-vous la forme quadratique q de f? 4. Donner la signature de q.
