Universit´e de Grenoble I Institut Fourier
MAT244 2009-2010
Contrˆole continu
Mercredi 24 Mars 2010 (14h-15h30) Documents et calculatrice interdits
Une attention particuli`ere sera port´ee `a la clart´e de la r´edaction. En particulier, on demande de justifier les r´eponses et de toujours expliquer, mˆeme rapidement, les calculs utilis´es.
Question de cours
1) Donner la d´efinition d’un produit scalaire sur un espace vectoriel E. Donner un exemple de produit scalaire surE =R2 (sans d´emonstration).
2) Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur l’intervalle [0,1] (`a valeurs r´eelles). Pour f,g∈E, on d´efinit le produit scalaire < f, g >=
Z 1 0
f(t)g(t)dt. Si on pose pour toutx∈[0,1], f0(x) = 1 etf1(x) =x, les vecteurs f0 etf1 de E sont-ils orthogonaux pour< ., . >?
3) Soit E un espace euclidien. Six,y∈E, on note < x, y >le produit scalaire dex et y, et ||x|| la norme dex.
3a) Enoncer et d´emontrer le th´eor`eme de Pythagore dansE.
3b) Soit pF la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finieF de E. D´emontrer que pour tout x∈E,||pF(x)|| ≤ ||x||. Etudier le cas d’´egalit´e.
Exercice 1
On supposeR3 muni de la base canonique (e1, e2, e3). Six=x1e1+x2e2+x3e3, on le notex=
x1
x2
x3
Soit f :R3→R3 d´efinie par f :
x1
x2
x3
→
x1+ 2x2−x3
2x1+ 4x2−2x3
−x1−2x2+x3
.
1) D´emontrer que f est une application lin´eaire. Donner sa matrice dans la base canonique de R3. Cette matrice est-elle inversible ?
2) Soientu1 =
1 0 0
,u2 =
1 1 0
,u3 =
1 1 1
. D´emontrer que (u1, u2, u3) forme une base de R3. Donner la matrice def dans cette base.
3) D´eterminer une ´equation et une base de Kerf. Quelle est la dimension de Imf? Donner une base de Imf.
4) Soit g:R3 →R3 l’application lin´eaire dont la matrice dans la base canonique est
1 −1 1
2 0 3
0 1 1
Six=
x2
x2
x3
, d´eterminer g(x). D´eterminer la matrice deg◦f dans la base canonique de R3.
Exercice 2
Soit B1 = (e1, e2, e3) la base canonique de l’espace vectoriel E=R3 ets∈R. On consid`ere la forme bilin´eaire bs qui s’exprime dans les coordonn´ees canoniques par
bs(x, y) =x1y1+ 2x2y2+ (2 +s)x3y3−(x1y2+x2y1) + (x1y3+x3y1).
1a) La formebs est-elle sym´etrique ?
1b) D´eterminer la matrice M1 de bs dans la base canonique B1. On pose
ε1 =e1, ε2 =e1+e2, ε3 =−2e1−e2+e3
2a) Montrer queB2= (ε1, ε2, ε3) est une base deE.
2b) Calculer la matrice M2 de bs dans la baseB2. 2c) En d´eduire en fonction desle rang de bs. On pose `a partir de maintenant que s= 1.
3a) D´eduire de l’expression de la matrice M2 que b1 est un produit scalaire.
3b) D´eterminer l’orthogonalP pour b1 du vecteur e3.
3c) Appliquer `a la baseB3 = (e3, e2, e1) le proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt pour b1.
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