A 2013 MATH. II MP
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈREMP),
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRETSI).
CONCOURS 2013
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
CYCLEINTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP.
L’énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal
Notations et définitions
SoitEun espace vectoriel euclidien (préhilbertien réel de dimension finie).
On note〈, 〉le produit scalaire deEetk kla norme euclidienne associée. SiH est une partie deE, on appelleenveloppe convexe deH, notée conv(H), la plus petite partie convexe deE contenantH, c’est-à-dire l’intersection de tous les convexes deE contenantH.
Soitn un entier naturelÊ2. On désigne parMn(R) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordrenà coefficients réels. On noteIla matrice identité de Mn(R) et siA∈Mn(R), on notetAla matrice transposée deAet tr(A) la trace de A. On rappelle que legroupe orthogonal On(R) deMn(R) est l’ensemble des matricesU deMn(R) telles queU tU=I. On rappelle également qu’une matrice symétrique réelle est ditepositivesi ses valeurs propres sont positives ou nulles.
On pourra identifierRnet l’ensemble des matrices colonnesMn,1(R), que l’on suppose muni du produit scalaire canonique, pour lequel la base canonique deRn est orthonormée. On note k k2la norme surMn(R) subordonnée à la norme euclidienne deRn: pour toutA∈Mn(R),
kAk2= sup
X∈Rn,kXk=1
kAXk.
Les parties A, B, C et D sont indépendantes.
A. Produit scalaire de matrices
On rappelle que tr(A) désigne la trace de la matriceA∈Mn(R).
1) Montrer que pour toute base orthonormée (e1,e2, . . . ,en) deRn, on a la formule tr(A)=Pn
i=1〈Aei,ei〉.
2) Montrer que l’application (A,B)→tr(tA B) définit un produit scalaire sur Mn(R), noté〈, 〉.
On notek k1la norme euclidienne associée à ce produit scalaire.L’attention du candidat est attirée sur le fait queMn(R)est désormais muni de deux normes différentesk k1etk k2.
3) Si AetB sont symétriques réelles positives, montrer que〈A,B〉 Ê0. On pourra utiliser une base orthonormée de vecteurs propres deB.
B. Décomposition polaire
Soit f un endomorphisme deE. On noteAla matrice de f dans une base orthonormée deE, et on note f∗l’adjoint de f.
4) Montrer que tA Aest une matrice symétrique réelle positive. Exprimer kAk2en fonction des valeurs propres detA A.
5) Montrer qu’il existe un endomorphisme auto-adjoint positifhdeEtel que f∗◦f =h2.
6) Montrer que la restriction dehà Imhinduit un automorphisme de Imh.
On notera cet automorphisme ˜h.
7) Montrer quekh(x)k = kf(x)k pour toutx∈E. En déduire que Kerh et (Imf)⊥ont même dimension et qu’il existe un isomorphismev de Kerh sur (Imf)⊥qui conserve la norme.
8) À l’aide de ˜hetv, construire un automorphisme orthogonaludeEtel que f =u◦h.
9) En déduire que toute matriceA∈Mn(R) s’écrit sous la formeA=U S, où U∈On(R) etSest une matrice symétrique positive.
On admet que siAest inversible, cette écriture est unique.
C. Projeté sur un convexe compact
SoitHune partie deE, convexe et compacte, et soitx∈E. On note d(x,H)= inf
h∈Hkx−hk.
10) Montrer qu’il existe un uniqueh0∈Htel qued(x,H)= kx−h0k. On pourra utiliser pourh0,h1dansHla fonction définie pour toutt∈Rpar la formule q(t)= kx−t h0−(1−t)h1k2.
11) Montrer queh0est caractérisé par la condition〈x−h0,h−h0〉 É0 pour tout h ∈H. On pourra utiliser la même fonction q(t) qu’à la question précédente.
Le vecteurh0s’appelleprojetédexsurH.
D. Théorème de Carathéodory et compacité
Dans cette partie, on suppose queEest de dimensionn. On dit quex∈E est unecombinaison convexedespélémentsx1,x2, . . . ,xp∈Es’il existe des réels λ1,λ2, . . . ,λp positifs ou nuls tels que
x=
p
Xλixi et
p
Xλi=1.
12) Montrer que l’enveloppe convexe conv(H) d’une partieHdeEest consti- tuée des combinaisons convexes d’éléments deH.
On souhaite montrer que l’enveloppe convexe conv(H) est constituée des com- binaisons convexes d’au plus n+1 éléments deH.
Soitx=Pp
i=1λixi une combinaison convexe dex1,x2, . . . ,xp∈HavecpÊn+2.
13) Montrer qu’il existepréels non tous nulsµ1,µ2, . . . ,µptels que
p
X
i=1
µixi=0 et
p
X
i=1
µi=0.
On pourra considérer la famille (x2−x1,x3−x1, . . . ,xp−x1).
14) En déduire que x s’écrit comme combinaison convexe d’au plusp−1 éléments deHet conclure que conv(H) est constituée des combinaisons convexes d’au plusn+1 éléments deH.
On pourra considérer une suite de coefficients de la formeλi−θµi Ê0, i ∈{1, 2, . . . ,p} pour un réelθbien choisi.
15) SiHest une partie compacte deE, montrer que conv(H) est compacte.
On pourra introduire l’ensemble compact deRn+1défini par Λ=
n
(t1, . . . ,tn+1), avectiÊ0 pour touti ∈{1, . . . ,n+1} et
n+1X
i=1
ti=1o .
E. Enveloppe convexe de O
n( R )
16) Montrer que l’enveloppe convexe conv(On(R)) est compacte.
On noteBla boule unité fermée de (Mn(R),k k2).
17) Montrer que conv(On(R)) est contenue dansB.
On suppose qu’il existeM∈Btelle queM n’appartient pas à conv(On(R)). On noteNle projeté deM sur conv(On(R)) défini à la partie C pour la normek k1, et on poseA=t(M−N). On écrit enfinA=U S, avecU∈On(R) etSsymétrique réelle positive (question 9).
18) Montrer que pour toutV ∈conv(On(R)), tr(AV)Étr(AN)<tr(AM). En déduire que tr(S)<tr(U SM).
19) Montrer que tr(MU S)Étr(S). On pourra appliquer le résultat de la ques- tion 1).
20) Conclure : déterminer conv(On(R)).
F. Points extrémaux
Un élémentA∈Best ditextrémaldansBsi l’écritureA=1
2(B+C), avec B,C appartenant à B, entraîne A =B =C. Dans cette partie, on cherche à déterminer l’ensemble des points extrémaux deB.
21) On suppose queU∈On(R) s’écrit sous la formeU =1
2(V+W), avecV,W appartenant àB. Montrer que pour toutX ∈Rn, les vecteursV X etW X sont liés. En déduire queUest extrémal dansB.
SoitAappartenant àBmais n’appartenant pas àOn(R).
22) Montrer que l’on peut écrire A sous la forme A=P DQ, oùP etQ sont deux matrices orthogonales et oùDest une matrice diagonale dont les éléments diagonauxd1,d2, . . . ,dnsont positifs ou nuls.
23) Montrer quediÉ1 pour touti∈{1, 2, . . . ,n}, et qu’il existej ∈{1, 2, . . . ,n} tel quedj<1.
24) En déduire qu’il existe deux matrices Aαet A−αappartenant àBtelles queA=1
2(Aα+A−α). Conclure.
