UNSA –Mesure et Topologie– L3 2017-2018 Contrˆole du 2 octobre 2017
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1. Adh´erence, int´erieur et fronti`ere.
On suppose queEest un espace topologique etA, Bdeux parties deE. Soit f :E→E0 une application continue etC une partie deE0.
1.a. Rappeler la d´efinition de l’adh´erenceA, de l’int´erieur
o
Aet de la fronti`ere Front(A) deA.
1.b. Montrer que siA⊂B alorsA⊂B et
o
A⊂B.o
1.c. Montrer que si A⊂B alors Front(A)6⊂Front(B) en g´en´eral.
1.d. Montrer que siA⊂B et
o
A=
o
B alors Front(A)⊂Front(B).
1.e. Montrer quef−1(
o
C)⊂
o
z }| { f−1(C).
1.f. Montrer que sif applique ouvert sur ouvert alorsf(
o
A)⊂
o
z }| { f(A).
1.g. Montrer que sif applique ouvert sur ouvert alors on a ´egalit´e dans1.e.
1.h. Montrer que les deux projectionsR2→Rsont continues et appliquent ouvert sur ouvert.
1.i. Montrer que pour deux partiesA, B deRtelles que
A×B =A×B et
o
z }| { A×B =
o
A×Bo
on a Front(A×B)⊂(Front(A)×B)∪(A×Front(B).
1.j. V´erifier hypoth`eses et conclusion de 1.i. pour A = B = [0,1]. Que constatez-vous ?.
Barˆeme indicatif: 1 pt par question, not´e sur 10
