Montrer l’inclusion Front(A∪B)⊂Front(A)∪Front(B)

UNSA –Mesure et Topologie– L3 2015-2016 Partiel du 20 octobre 2015

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1. Fronti`ere. SoitE un espace topologique et soientA, B deux parties deE.

1.a. Un pointx∈E appartient `a la fronti`ere Front(A) si tout voisinage de xrencontre `a la foisA etE\A. Montrer ¯A∩E\A= Front(A) = ¯A\Int(A).

1.b. Rappeler pourquoi on a l’identit´e ¯A∪B¯ =A∪B. Montrer l’inclusion Front(A∪B)⊂Front(A)∪Front(B).

1.c. Montrer que si ¯A∩B¯ =∅ alors Front(A∪B) = Front(A)∪Front(B).

Indiquer deux partiesA, BdeRtelles que Front(A∪B)6= Front(A)∪Front(B).

1.d. Supposons que A et B soient des parties ouvertes et denses dans E.

Montrer que la r´eunionA∪B est alors ´egalement ouverte et dense. En d´eduire l’identit´e Front(A∪B) = Front(A)∩Front(B).

2. Suites de Cauchy et compacit´e. Soit (E, d) un espace m´etrique. Une suite de boules (Bk)_k≥0 dansE est diteconfin´ee s’il existe un point x∈E tel que pour tout >0 il existeN ≥0 de sorte queBk⊂B(x, ) sik≥N.

2.a. Soient deux boules ouvertes B(x1, 1) etB(x2, 2) dans (E, d) ayant une intersection non vide. Montrer que d(x1, x2) < 1+2. En d´eduire que toute suite de boules Bk = B(xk,₂¹k) telles que deux boules successives aient une intersection non vide v´erifie pourk < lqued(xk, xl)< ₂¹_k+· · ·+₂¹_l < ₂k−1¹ . 2.b. D´eduire de 2.a que la suite des centres (x_k)_k≥0 de la suite (B_k)_k≥0 consid´er´ee est une suite de Cauchy. Conclure que si (E, d) est complet, alors la suite des boules (B_k)_k≥0est confin´ee.

On dira qu’un recouvrementE=S

i∈IUi par des ouvertsUiestde type fini s’il existe une partie finie{i1, . . . , iN} ⊂I telle queE=Ui₁∪ · · · ∪Ui_N.

2.c. Montrer que le recouvrement deRpar les ouverts ]n−³₄, n+³₄[ (n∈Z) n’est pas de type fini. En d´eduire qu’une partie de Rqui rencontre une infinit´e de ces ouverts ne peut pas ˆetre compacte.

2.d. On suppose que (E, d) est totalement born´e et qu’il existe un recouvre- ment par des ouvertsE=S

i∈IU_iqui n’est pas de type fini. Un pointx_k∈Eest ditk-exceptionnel si la bouleB(x_k,₂¹_k) n’est pas recouvert par un nombre fini de cesU_i. Construire alors par r´ecurrence une suite de pointsk-exceptionnels (x_k)_k≥0 de sorte queB(x_k,₂¹_k)∩B(x_k+1,_2k+1¹ )6=∅ pour toutk≥0.

2.e. D´eduire (en raisonnant par l’absurde) de2.bet de2.dque si (E, d) est totalement born´e et complet alorsE est compact.

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3. Equivalence de normes. On consid`ere Rⁿ muni de sa topologie usuelle.

Soientk−k2 la norme euclidienne etk−kune norme quelconque surRⁿ. 3.a. Montrer que pour toute partie compacte K de Rⁿ, il existe des r´eels positifsλ^K₁ , λ^K₂ tels que kxk ≤λ^K₁ et kxk2≤λ^K₂ pour toutx∈K.

3.b. Montrer que la boule-unit´eB ={x∈Rⁿ| kxk ≤ 1} et la boule-unit´e B⁰={x∈Rⁿ| kxk2≤1}sont hom´eomorphes. En d´eduire queB est compacte.

3.c. D´eduire de3.aet3.bl’existence de r´eelsλ= 1/λ^B₁⁰ etµ=λ^B₂ tels que λkxk ≤ kxk2≤µkxk pour toutx∈Rⁿ.

Indication: pour ´etablir les in´egalit´es il suffit dans un premier temps de con- sid´erer lesx∈Rⁿ tels que kxk2= 1, resp. kxk= 1.

3.d. Montrer (en utilisant la compacit´e de B) qu’il existe un nombre fini de vecteursx1, . . . , xk ∈B tels queB ⊂B(x1,¹₂)∪ · · · ∪B(xk,¹₂). En d´eduire qu’on a ´egalement l’inclusion

B⊂ [

(i,j)∈{1,...,k}²

B(xi+1 2xj,1

4).

Hors barˆeme: en it´erant la construction, conclure que le sous-espace vectoriel engendr´e par lesx1, . . . , xk contient B et par cons´equentRⁿ.

Remarque: le mˆeme argument s’applique `a tout R-espace vectoriel norm´e (E,k − k) dont la boule-unit´e est compacte. En particulier, de tels espaces vectoriels norm´es sont forc´ement de dimension finie (c’est le th´eor`eme de Riesz).

Barˆeme indicatif:

(1.5+1.5+1.5+1.5)+(1.5+2+1.5+1.5+1.5)+(1.5+1.5+1.5+1.5)

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