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[]= 14 () ˆ A , B ˆ C ˆ e a J N A et = = = a a e a = A e ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ () ⎡⎣⎤⎦ a , a = 1 22ˆ 22 () () J J = = d d r E r r × × A E × B () () () Δ Δ A A = Δ B A − ≥ A iC ∫ ∫ J ˆ = d rE ˆ r ×∇ A ˆ + E ˆ × A , i = x , y , z e = e + i e , ˆ e = i e + e ∑ ∫

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

PHY  3320     26  janvier  2011   Exercices,  série  2    

 

1. Moment  cinétique  classique    

Le  moment  cinétique  classique  du  champ  transverse  s’écrit    

J

trans

= ε

0

∫ d

3

r r × ( E

× B )  .  

 

Après  quelques  laborieuses  manipulations  mathématiques  sans  intérêt  (voir  Jackson  ou   Mandel  et  Wolf),  cette  équation  se  transforme  en  

 

J

trans

= ε

0

d

3

r E

i

( r × ∇ ) A

i

+ E

× A

i

⎧ ⎨

⎫ ⎬

∫ ⎭ , i = x, y, z  

 

Le   premier   terme   à   droite   est   analogue   à   un   moment   cinétique   orbital   alors   que   le   second   est   intrinsèque   au   champ   de   rayonnement.   Dans   ce   qui   suit,   on   ne   s’intéresse   qu’à  ce  deuxième  terme  :  

 

J

S

= ε

0

d

3

r E

× A

.    

a) Exprimez   J

S

 en  termes  des  variables  normales   α

ns

 et   α

ns

.  Note  :  dans  le  cas  d’une   base  de  polarisation  linéaire,  on  peut  poser   e ˆ

ns

= e ˆ

ns

= e ˆ

ns

.  

 

b) Simplifiez  cette  expression  en  utilisant  une  base  de  polarisation  circulaire    

e ˆ

n+

= 2

2 ( e ˆ

n1

+ e

n2

) , ˆ e

n−

= 2

2 ( i e ˆ

n1

+ e ˆ

n2

)  

 

2. Soient   A   et   B   deux   observables   telles   que   [ A, B ] = C   et   soit   l’écart   quadratique ΔA = ( AA )

2

,  où   A = ψ A ψ .  Montrez  qu’alors  

 

( ) ΔA

2

( ) ΔB

2

1

4 iC

2

 .    

3. Relisez   les   pages   de   votre   livre   de   mécanique   quantique   préféré   à   propos   des   opérateurs  d’annihilation  ou  de  création  de  quanta  d’énergie   a et a

 tels  que   ⎡⎣ a, a

⎤⎦ = 1 ,   et  de  l’opérateur  nombre   N = a

a  :  propriétés,  spectre,  valeurs  propres,  …  

 

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