Montrer que l'ensemble E=n a+b√ 2,(a, b)∈Q2 o est un sous-corps deR

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Exercice I

Dans cet exercice, il sera utile de considérer diverses quantités conjuguées ainsi que des modules de nombres complexes. On utilisera librement le fait que√

2 est irrationnel.

On dira qu'une partie non vide F de C est un sous-corps de C si et seulement si les propriétés suivantes sont vériées :

∀(x, y)∈F²:x+y∈F, xy∈F

∀x∈F :−x∈F

∀x∈F\ {0}:1 x ∈F

Si F est un sous-corps de C, on dira qu'une partie A de Cest un sous-corps de F si et seulement siA et un sous-corps deCetA⊂F.

SiB est un sous-corps deCetAun sous-corps deB, on désigne parGA(B)l'ensemble des bijectionsf deB dans lui même vériant :

∀a∈A:f(a) =a

∀(b, b⁰)∈B :f(b+b⁰) =f(b) +f(b⁰), f(bb⁰) =f(b)f(b⁰) 1. Montrer que l'ensemble

E=n a+b√

2,(a, b)∈Q² o

est un sous-corps deR.

2. On dénit une partieF deCpar : F =n

a+b√

2 +cj+dj√

2,(a, b, c, d)∈Q⁴ o

avecj=e^2iπ/3.

a. Montrer que pour toutz∈F, il existe un unique quadruplet (a, b, c, d)∈Q⁴ tel que

z=a+b√

2 +cj+dj√ 2

b. Montrer queF est un sous-corps deC. Soitz et z⁰ deux éléments deF, préciser les coecientsA(z, z⁰),B(z, z⁰),C(z, z⁰), D(z, z⁰)tels que

zz⁰=A(z, z⁰) +B(z, z⁰)√

2 +C(z, z⁰)j+D(z, z⁰)j√ 2 c. Préciser l'inverse de1 +√

2 +j+j√ 2

3. Soit A un sous-corps de B. Montrer que GA(B) est un sous-groupe du groupe des bijections deB dansB pour la composition des applications.

4. Soitf un élément deG_Q(F). Quelles valeurs peuvent prendref(√

2)etf(j)? Montrer que tout élémentf deG_Q(F) est déterminé par la donnée def(√

2)etf(j). En déduire les éléments deG_Q(F)puis deGE(F).

Exercice II

SoitI un intervalle deRet nun entier naturel non nul. On appelle zéro d'une fonction dénie dansI un élément deIen lequel la fonction prend la valeur nulle.

1. Soitf ∈ C^∞(I)admettantn+ 1 zéros distincts. Montrer quef⁽ⁿ⁾ admet un zéro.

2. Soitf ∈ C^∞(I)telle que f⁽ⁿ⁾ soit bornée avecsup_I|f⁽ⁿ⁾|=M_n et admettantnzéros distinctsa1, a2,· · · , an. Montrer que :

∀x∈I:|f(x)| ≤ |x−a1| · · · |x−an|Mn

n!

On pourra considérer des fonctions

ϕx: t→(t−a1)· · ·(t−an)Kx−f(t)

avecx∈I et Kx réel.

3. Soit f ∈ C^∞(I) telle que f⁽ⁿ⁾ soit bornée avec sup_I|f⁽ⁿ⁾| = M_n. Soit a₁, a₂,· · ·, a_n des éléments deux à deux distincts dansI. Pouri entre1 etn, on note

Li= Y

j∈{1,···,n}\{i}

X−aj

a_i−a_j

Montrer qu'il existe un unique polynômeP ∈Rn−1[X]tel que

∀i∈ {1,· · ·, n}, Pe(ai) =f(ai)

Montrer que

∀x∈R,

Pe(x)−f(x)

≤ |x−a₁| · · · |x−a_n|Mn

n!

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S0905E

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Exercice III

Dans cet exercice G désigne un groupe dont l'opération est notée multiplicativement : pour tousaetbdeGle produit deaparbest simplement notéab. On ne suppose pas que le groupe soit commutatif.

Pour une partieAdeG, on appelle centralisateur deAla partieC(A)deGdénie par :

∀x∈G, (x∈ C(A)⇔ ∀a∈A, ax=xa).

Dans la suite de l'exercice, quand on demande de comparer deux parties deG, il s'agit de prouver une inclusion entre ces deux parties.

La partieAdeGest xée pour la suite de l'exercice.

1. Montrer queC(A)est un sous-groupe deG.

2. SoitX et Y deux parties deGtelles queX ⊂Y. ComparerC(X)etC(Y). 3. SoitX une partie quelconque deG, comparerX etC(C(X)).

4. Montrer que

C(C(C(A))) =C(A)

Problème

Soit(un)_n∈N^∗ une suite de réels non nuls, on lui associe la suite(pn)_n∈N^∗ dénie par : pn =u1u2· · ·un

On dira que le produit inniQ

n≥1un converge si et seulement la suite(pn)_n∈N^∗ converge vers un nombre non nul. Cette limite sera notéeQ

n≥1un. Si la suite(pn)ne converge pas, on dira que le produit diverge.

I. Exemples.

1. Soituk = 1 +¹_k.

Simpliezpn. Le produitQ

n≥1(1 +_n¹)est-il divergent ou convergent ? 2. Soituk = cos₂^ak aveca6≡0 modπ.

Pour tout n ∈ N^∗, calculer pnsin₂^an. En déduire que le produit inni converge et préciser

Y

n≥1

cos a 2ⁿ.

3. Soituk = 1−_k¹2 pourk≥2. Montrer que le produit inni converge et calculer Y

n≥2

(1− 1 n²).

4. Soita∈]0,1[et uk = 1 +a⁽²^k⁾. Calculer(1−a²)pn. En déduire la convergence et la valeur du produit inni.

II. Conditions.

1. Montrer que si le produit inniQ

n≥1u_nconverge alors la suite(u_n)_n∈_N^∗converge vers 1.

2. On supposeu_n >0à partir d'un certain rangn₀. Montrer que la convergence du produit inniQ

n≥1un est équivalent à la convergence de la série(Pln(un))_n≥n₀. Dans ce cas, comment sont reliés la valeur du produit inni et la somme de la série ?

3. Montrer que, sous l'une des hypothèses suivantes

à partir d'un certain rangn0,un= 1−vn avec0< vn<1, à partir d'un certain rangn0,un= 1 +vn avec0< vn, le produit inniQ

n≥1un converge si et seulement si la série(P vn)_n≥n

0 converge.

III. Un expression de sin comme produit inni.

Dans cette partie,x∈]−1,1[.

1. a. Montrer la convergence de la série(P 2x x²−n²)_n≥1. b. Montrer la convergence du produit inniQ

n≥1(1−_n^x²₂). 2. Études locales.

a. Former un développement asymptotique en0 avec un reste eno(t)de t7→πcotan(πt).

b. Montrer que l'on peut prolonger par continuité la fonction dénie par :

∀t∈]−1,+1[\ {0}, t7→ln

sinπt πt

. On notef la fonction ainsi prolongée.

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c. Montrer quef estC¹dans]−1,+1[et préciser f⁰. 3. On admet la relation suivante

∀x∈]−1,1[, f⁰(x) =X

n≥1

2x x²−n².

a. Montrer que

∀t∈]0,1[,∀n∈N\ {0,1}, t

n²−t² ≤ 1 n²−1 b. Montrer que

∀N ∈N^∗,∀x∈]−1,+1[

ln

sin(πx) πx

−

N

X

n=1

Z x

0

2t t²−n²dt

≤ |x|

+∞

X

n=N+1

2 n²−1.

c. En déduire

∀x∈]−1,+1[, sin(πx) =πxY

n≥1

1−x²

n²

.