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B) . . . . A) Ensemble C des nombres complexes

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Ensemble C des nombres complexes

4ème math B.H.Hammouda Fethi

A)

Forme algébrique d’un nombre complexe : Théorème :

Il existe un ensemble noté

C

, de nombres appelés nombre complexe , tel que :

. C

contient IR ;

. C

est muni d’une addition et d’une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les même que dans IR .

.

Il existe dans C un nombre non réel , noté i , vérifiant i2  1 ;

.

Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme dite algébrique ou cartésienne z aib où a et b sont des réels.

Définitions :

-Le réel a est appelé partie réelle de z et est noté e

 

z . -Le réel b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im .

 

z

- Si b0 alors zaet z est réel .

- Si a0 alors z ib et z est appelé imaginaire pur.

Conséquence :

Si a , b , a’ et b’ sont des réels :

aiba'ib' aa' et bb' aib0  a0 et b0 . Opposé d’un nombre complexe :

Si zaib avec a et b réels alors on appelle opposé de z le complexe noté -z tel que : zai

 

b .

B)

Représentation géométrique d’un nombre complexe : Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct

 

o,u,v .

Définitions

Soit le complexe z aib , a et b deux réels - Le point M

 

a, est appelé le point image de z . b - Le vecteur V

 

a, est le vecteur image de z . b

- Le complexe z est l’affixe du point M noté M

 

z et l’affixe du vecteur V noté aff

 

V z.

Affixe d’un vecteur AB

aff

 

AB aff

 

B aff

 

A on note souvent : B A

AB Z Z

Z   .

(2)

Propriétés :

Pour tous vecteurs U et V et tout réel  , aff

     

uv aff u aff v , aff

 

u aff

 

u

Conséquence :

* Deux vecteurs non nuls U et V sont colinéaire ssi

 

 

V IR

aff U

aff  .en particulier A,B et C trois points (distincts) sont alignées ssi IR

Z Z

Z Z

C A

B

A

* Deux vecteurs non nuls U et V sont orthogonaux ssi

 

 

V iIR

aff U

aff  en particulier A,B et C trois points (distincts) ,

 

AB

 

AC ssi iIR

Z Z

Z Z

C A

B

A

 .

Application1 :

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que iIR z

i

z

1

Affixe du milieu d’un segment :

Si I est le milieu du segment

 

A, alors B

2

B A I

Z ZZ  .

C)

Conjugué d’un nombre complexe : Définition :

On appelle conjugué du nombre complexe z aib , a et b deux réels , le complexe noté z et définit par : zaib.

Interprétation géométrique :

Les points image de deux complexes conjuguées sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses . Remarque :

 

2 z z z

e  

et

 

i z z z

Im  2 . Théorème :

Soit z un nombre complexe .

1) z est réel si et seulement si zz .

2) z est imaginaire pur si et seulement si z z . Propriété :

Pour tout complexes z et z’ : 1) zz.

2) zz'zz' et 'zzz z'

3) Pour tout entier naturel non nul n :

 

zn

 

z n

4) Si z0 z z

1 1

 

 et

z z z z' '

 

 .

5) Si z aib où a et b sont des réels alors zza2b2 donc pour z0 , on a

2 2 2 2 2 2

1

b a i b b a

a b

a z z

z z

z  

 

 

c’est la méthode utilisée pour écrire sous forme algébrique un quotient .

(3)

Application2 :

Ecrire sous forme algébrique les complexe :

i 1

2 et i

i

 2

3 1

D)

Module et argument d’un nombre complexe non nul : Définition :

Soit z aib un nombre complexe non nul d’image M dans le plan muni d’un repère orthonormé direct

 

o,u,v , soit

 

r, un couple de coordonnée polaire du point M : - Le réel r est appelé module de z noté z ;

- Le réel  est appelé argument de z et noté arg .

 

z

On a donc : z r OM a2 b2 , et arg

 

z

u,OM

 

2 .

Remarques :

- Le nombre complexe 0 a pour module 0 mais n’a pas d’argument .

- Tout complexe non nul z a une infinité d’arguments . Si  l’un d’eux , tout

autre argument de z est de forme  2kkZ .On écrit alors : arg

 

z 

 

2 . Application :

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que : z1i 2 Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que : ziz1 Conséquences :

1) Si z aib où a et b sont des réels alors z a2 b2 . 2) Le module d’un nombre réel x est la valeur absolue de x . 3) z est réel non nul ssi arg

 

z0

 

2 ou arg

 

z 

 

2 4) z est imaginaire pur ssi

 

 

2

arg z  2 ou

 

 

2 arg z 2 . 5) Soit z un complexe non nul équivaut à arg

 

z arg

 

z

 

2 et arg

 

z arg

 

z

 

2

E)

Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul : Théorème :

Soit z aib où a et b sont des réels, un complexe non nul Si zr et si arg

 

z 

 

2 alors arcos et brsin

Définition :

Soit z un complexe non nul de module r et dont l’argument est  l’écriture zr

cosisin

est

(4)

appelée forme trigonométrique noté aussiz

 

r, .avec ra2b2 ,cos 2 2 b a

a

 

et

2

sin 2

b a

b

 

.

Application3 :

Ecrire sous forme trigonométrique : -1 , 3 , i , 3i , i 2

1 , 1i , 3i, 1i 3 Egalité de deux nombre complexe :

Soit z

 

r, et z'

r ,''

; zz' équivaux à rr' et  '

 

2 . Théorème :

Si zr

cosisin

avec r 0 alors zr et arg

 

z

 

2 .

F)

Propriétés des modules et des arguments : Propriétés des modules :

Pour tout complexes z et z’ : 1) z 0  z 0. 2) z z z z 3) z zz ou z2 zz 4) zz' zz'

5) zz'  z z' 6) si z 0 alors

z z

1 1  ,

z z z

z'  ' et pour tout nZ zn zn.

Propriétés des arguments :

Pour tout complexes non nul z et z’ : 1) arg

 

zz'arg

 

zarg

 

z'

 

2 2) arg1 arg

 

z

 

2

z  et arg ' arg

 

z' arg

 

z

 

2z

z  

 

 .

3) arg

 

z arg

 

z

 

2 .

4) pour tout nZ , arg

 

znnarg

 

z

 

2 . Application4 :

Ecrire sous forme trigonométrique : ( 3i)(1i 3) ,

 

3 1

1 ) 3 (

i i i

 , ( 3i)3(1i 3)2

(5)

G)

Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul.

Définition :

Pour tout réel  on pose : ei cos isin . Alors , si z est un nombre complexe non nul de module r et dont un argument est  , on appelle forme exponentielle de z l’écriture : zrei.

Conséquences :

0 1

ei  , ei2 i , ei2  i , ei  1 , et pour tout entier k , eiei2k Règle de calcule sur les formes exponentielles :

 et ' sont deux réels quelconques , r et r’ sont des réels strictement positifs . 1) reir e' i'rr' et   ' 2

 

 .

2) reirei. 3) reirei(  ). 4) re r ei ' i'rr e' i  ' 5) 1i 1e i

re r

. 6) r e' ii ' r'ei '

re r

 

.

7) (rei)nr en in , pour tout n . Formule d’Euler :

Pour tout réel  : cos

2

i i

e e

 et sin

2

i i

e e

i

  Application5 :

Ecrire sous forme exponentielle : ( 3i)(1i 3) ,

 

3 1

1 ) 3 (

i i i

 , ( 3i)3(1i 3)2, 2iei34

 . cosisin . cos isin , sinicos, sin icos ,1 cos isin et 1 cos isin dans le cas où

 

0, puis si   

,2

Formule de Moivre :

Pour tout réel  et pour tout nIN ,

cosisin

n

 

ei n cos

 

n isin

 

n .

H)

Angles orientés et nombres complexes :

Théorème :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct

 

o,u,v .

Soit A ,B , C et D les points d’affixes respectives ZA , ZB ,ZC et ZD tel que AB0 et CD0 alors

u AB,

arg

ZBZA

 

2 et

,

arg D C

 

2

B A

Z Z

AB CD

Z Z

  

    .

(6)

Application6 :

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que arg

z i

 4

 

2 . Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que arg

 

2

1 2

z i

z  

  

  

  .

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que arg

 

2

1 3

z i

z  

  

  

 

Application7: ****

On considère le nombre complexe z  1 i ei

 

0, , Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z lorsque  varie dans

 

0, .

I)

Racines carrées d’un nombre complexe : Activité :

* Déterminer z tel que z2 1 i 3 (on pose zrei )

* Déterminer z tel que z2  8 6i .

D’une façon générale la résolution d’une équation de type z2uu et z x iy revient à résoudre le système suivant :

 

 

2 2

2 2

2 Im

x y e u

xy u

x y u

  

 

L’équation z2 u possède deux solution opposées . Application8:

Déterminer les racines carrée du nombre complexe 3 4 i

J)

Résolution dans de l’équation az2bz c 0a0 : Théorème :

Soit = b2 – 4 a c est le discriminant de l’équation , posons  une racine carrée de : l’équation az2bz c 0 admet dans une solutions :

 

b b

z et z

a a

   

 

1 2 2 2

Conséquences :

* Dans tous les cas : az2 bz c a( z z )( z z )   12 ; z1 z2 b a

   et z z1 2 c

a .

* Si a  b c 0 alors z et z c

  a

1 1 2 .

* Si a  b c 0 alors z1  1 et z2  ca .

* Si a ,b et sont des réelles et si z0 est une solution alors z0 est l’autre solution . Application9:

Résoudre dans les équations suivantes :

 

2 1 2 2 0

z  i z  i

(7)

 

2 cos 1 0

z   z 4 où 

K)

Racines nième d’un nombre complexe : Activité :

* Déterminer z tel que z4  2 2 3i (on pose zrei ) .

* Déterminer z tel que znuu .

On pose zrei et uRei' l’équation devient(rei)nRei'r en ni Rei'

' 2 rn R n  k

  

 

' 2 0,1,2,..., 1

r n R

k k n

n n

 

   

alors zk rei n 2kn

 où k

0,1,2,...,n1

Théorème et définition :

Soit u un nombre complexe non nul d’argument  et n *. L’équation zn u admet dans , n solutions distinctes définies par

i 2k

n n

zk re

 ,k

0,1,2,...,n1

,où r est le réel strictement positif tel quelque rnu. Ces solutions sont appelées les racines nième du nombre complexe u .

Application10:

 Déterminer les racines cubiques de l’unité .

 Déterminer les racines sixième de -1

L)

Exemples d’équation de degré supérieur ou égal à 3 : Activité :

On considère , dans ,l’équation (E) : z3 

1 4i z

2 

7 3i z

  6 2 0i . 1) Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire et la déterminer . 2) Résoudre l’équation (E) .

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