B) . . . . A) Ensemble C des nombres complexes

Ensemble C des nombres complexes

4^ème math B.H.Hammouda Fethi

A)

Forme algébrique d’un nombre complexe : Théorème :

Il existe un ensemble noté

C

, de nombres appelés nombre complexe , tel que :

. ^C

contient IR ;

. ^C

est muni d’une addition et d’une multiplication pour lesquelles les règles de calcul sont les même que dans IR .

.

Il existe dans C un nombre non réel , noté i , vérifiant i²  1 ;

.

Tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme dite algébrique ou cartésienne ^{z aib} où a et b sont des réels.

Définitions :

-Le réel a est appelé partie réelle de z et est noté ^e

 

^z . -Le réel b est appelé partie imaginaire de z et est noté Im .

 

z

- Si b0 alors zaet z est réel .

- Si a0 alors ^{z ib} et z est appelé imaginaire pur.

Conséquence :

Si a , b , a’ et b’ sont des réels :

aiba'ib'  aa_' et bb_' aib0  a0 et b0 . Opposé d’un nombre complexe :

Si ^zaib avec a et b réels alors on appelle opposé de z le complexe noté -z tel que : zai

 

b .

B)

Représentation géométrique d’un nombre complexe : Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct

 

^{o,u,v .}

Définitions

Soit le complexe ^{z aib} , a et b deux réels - Le point M

 

a, est appelé le point image de z . b - Le vecteur V

 

a, est le vecteur image de z . b

- Le complexe z est l’affixe du point M noté M

 

z et l’affixe du vecteur V noté ^aff

 

^{V z.}

Affixe d’un vecteur AB

^aff

 

^{AB aff}

^{ }

^{B aff}

^{ }

^A on note souvent : _{B A}

AB Z Z

Z   .

Propriétés :

Pour tous vecteurs U et V et tout réel  , ^aff

     

^{uv aff u aff v} , ^aff

 

^{u aff}

 

^u

Conséquence :

* Deux vecteurs non nuls U et V sont colinéaire ssi

 

 

^{V IR}

aff U

aff  .en particulier A,B et C trois points (distincts) sont alignées ssi IR

Z Z

Z Z

C A

B

A 





* Deux vecteurs non nuls U et V sont orthogonaux ssi

 

 

^{V iIR}

aff U

aff  en particulier A,B et C trois points (distincts) ,

 

AB 

 

AC ssi iIR

Z Z

Z Z

C A

B

A 



 .

Application1 :

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que ^iIR z

i

z 





1

Affixe du milieu d’un segment :

Si I est le milieu du segment

 

^A, alors ^B

2

B A I

Z Z  Z  .

C)

Conjugué d’un nombre complexe : Définition :

On appelle conjugué du nombre complexe ^{z aib} , a et b deux réels , le complexe noté ^z et définit par : z aib.

Interprétation géométrique :

Les points image de deux complexes conjuguées sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses . Remarque :

 

2 z z z

e  

 et

 

i z z z

Im  2 . Théorème :

Soit z un nombre complexe .

1) z est réel si et seulement si ^z ^z .

2) z est imaginaire pur si et seulement si ^{z z} . Propriété :

Pour tout complexes z et z’ : 1) z z.

2) zz'zz' et 'zz z z'

3) Pour tout entier naturel non nul n :

 

^{zn }

 

^{z n}

4) Si z0 z z

1 1



 



 et

z z z z' '



 



 .

5) Si ^{z aib} où a et b sont des réels alors zza² b² donc pour z0 , on a

2 2 2 2 2 2

1

b a i b b a

a b

a z z

z z

z  

 

 

 c’est la méthode utilisée pour écrire sous forme algébrique un quotient .

Application2 :

Ecrire sous forme algébrique les complexe :

i 1

2 et i

i



 2

3 1

D)

Module et argument d’un nombre complexe non nul : Définition :

Soit ^{z aib} un nombre complexe non nul d’image M dans le plan muni d’un repère orthonormé direct

 

^{o,u,v , soit}

^{ }

^r, un couple de coordonnée polaire du point M : - Le réel r est appelé module de z noté z ;

- Le réel  est appelé argument de z et noté arg .

 

z

On a donc : ^{z r OM  a2 b2} , et ^arg

 

^{z  }



^u,OM

 ^{ }

^{2 .}

Remarques :

- Le nombre complexe 0 a pour module 0 mais n’a pas d’argument .

- Tout complexe non nul z a une infinité d’arguments . Si  l’un d’eux , tout

autre argument de z est de forme  2k où ^kZ .On écrit alors : _arg

 

z 

 

₂ . Application :

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que : z1i 2 Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que : zi  z1 Conséquences :

1) Si ^{z aib} où a et b sont des réels alors ^{z  a2 b2} . 2) Le module d’un nombre réel x est la valeur absolue de x . 3) z est réel non nul ssi _arg

 

z ₀

 

₂ ou _arg

 

z 

 

₂ 4) z est imaginaire pur ssi

 



 

₂

arg z  2 ou

 



 

₂ arg z 2 . 5) Soit z un complexe non nul équivaut à arg

 

z arg

^{ }

z

^{ }

2^ et arg

 

z ^ arg

 

z

 

2^

E)

Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul : Théorème :

Soit ^{z aib} où a et b sont des réels, un complexe non nul Si z r et si _arg

 

z 

 

₂ alors arcos et br_sin

Définition :

Soit z un complexe non nul de module r et dont l’argument est  l’écriture zr



_cosi_sin



est

appelée forme trigonométrique noté aussiz

 

r_, .avec r a²b² ,cos _{2 2} b a

a

 

 _et

2

sin 2

b a

b

 

 _.

Application3 :

Ecrire sous forme trigonométrique : -1 , 3 , i , 3i , ⁱ 2

1 , 1^i , 3i, 1i 3 Egalité de deux nombre complexe :

Soit z 

 

r_, et z'



r ,''



; z z' équivaux à r  r' et  _'

 

₂ . Théorème :

Si zr



cos^isin^



avec r 0 alors z r et arg

 

z ^

 

2^ .

F)

Propriétés des modules et des arguments : Propriétés des modules :

Pour tout complexes z et z’ : 1) z 0  z 0. 2) ^{z  z  z  z} 3) ^{z  zz} ou ^{z2 zz} 4) zz' z  z'

5) zz'  z z' 6) si z 0 alors

z z

1 1  ,

z z z

z'  ' et pour tout ^{nZ zn  zn}.

Propriétés des arguments :

Pour tout complexes non nul z et z’ : 1) _arg

 

zz_' _arg

 

z _arg

 

z_'

 

₂ 2) arg1 arg

 

z

 

2^

z  et _arg ^' _arg

 

z_{' arg}

 

z

 

₂ z

z  



 



 .

3) arg

 

z arg

^{ }

z

^{ }

2^ .

4) pour tout ^nZ , _arg

 

zⁿ n_arg

 

z

 

₂ . Application4 :

Ecrire sous forme trigonométrique : ( 3i)(1i 3) ,

 

3 1

1 ) 3 (

i i i





 , ( 3i)³(1i 3)²

G)

Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul.

Définition :

Pour tout réel  on pose : e^i cos isin . Alors , si z est un nombre complexe non nul de module r et dont un argument est  , on appelle forme exponentielle de z l’écriture : zre^i.

Conséquences :

0 1

ei  , ^{ei2 i} , ^{ei2  i} , e^i  1 , et pour tout entier k , e^i e^{i2k} Règle de calcule sur les formes exponentielles :

 et ' sont deux réels quelconques , r et r’ sont des réels strictement positifs . 1) re^i r e' ^i'  rr' et   ' 2

 

 .

2) re^i re^i. 3) ^rei ^{rei(  )}. 4) re r e^i ' ^i' rr e' ^{i  '} 5) ¹_i ^{1e i}

re r





  . 6) ^{r e'} _i^{i ' r'ei ' }

re r

  



  .

7) (re^i)ⁿ r e^{n in} , pour tout ^n . Formule d’Euler :

Pour tout réel  : cos

2

i i

e^ e ^

 ^{ } et sin

2

i i

e e

i

 

  ^{ } Application5 :

Ecrire sous forme exponentielle : ( 3i)(1i 3) ,

 

3 1

1 ) 3 (

i i i





 , ( 3i)³(1i 3)², 2ieⁱ³⁴



 . cosisin . cos isin , sinicos, sin icos ,1 cos isin et 1 cos isin dans le cas où ^

 

^{0, puis si   }



^,2



Formule de Moivre :

Pour tout réel  et pour tout nIN ,



^{cosisin}



^{n }

 

^{ei n cos}

^{ }

^{n isin}

^{ }

^{n .}

H)

Angles orientés et nombres complexes :

Théorème :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct

 

^o,u,v .

Soit A ,B , C et D les points d’affixes respectives ZA , ZB ,ZC et ZD tel que AB0 et CD0 alors



^{u AB,}



^arg

^

^ZBZA

^{  }

^2 et



^,



^{arg D C}

^{ }

²

B A

Z Z

AB CD

Z Z 

  

    .

Application6 :

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que ^arg



^{z i}



^{ }₄

 

² . Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que arg

 

2

1 2

z i

z^  

  

  

  .

Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z tel que arg

 

2

1 3

z i

z^  

  

  

 

Application7: ****

On considère le nombre complexe ^{z  1 i ei où }

 

^0, , Déterminer et construire l’ensemble des pts M d’affixe z lorsque  varie dans

 

^{0, .}

I)

Racines carrées d’un nombre complexe : Activité :

* Déterminer z tel que z² 1 i 3 (on pose ^zrei )

* Déterminer z tel que z²  8 6i .

D’une façon générale la résolution d’une équation de type ^z2 ^u où ^u et ^z ^{x iy} revient à résoudre le système suivant :

 

 

2 2

2 2

2 Im

x y e u

xy u

x y u

  



 

L’équation ^{z2 u} possède deux solution opposées . Application8:

Déterminer les racines carrée du nombre complexe 3 4 i

J)

Résolution dans de l’équation az²bz c 0 où a0 : Théorème :

Soit ^= b² – 4 a c est le discriminant de l’équation , posons  une racine carrée de ^ : l’équation az²bz c 0 admet dans une solutions :

 

b b

z et z

a a

   

 

1 2 2 2

Conséquences :

* Dans tous les cas : az² bz c a( z z )( z z )   ₁  ₂ ; ^z₁ ^z₂ ^b a

   et ^{z z}_{1 2} ^c

 a .

* Si a  b c 0 alors z et z c

  a

1 1 2 .

* Si a  b c 0 alors z^{1  1} et z^{2  }ca .

* Si a ,b et sont des réelles et si z₀ est une solution alors z₀ est l’autre solution . Application9:

Résoudre dans les équations suivantes :

 

2 1 2 2 0

z  i z  i

 

2 cos 1 0

z   z 4 où 

K)

Racines n^ième d’un nombre complexe : Activité :

* Déterminer z tel que z⁴  2 2 3i (on pose ^zrei ) .

* Déterminer z tel que ^zn ^u où ^u .

On pose ^zrei et uRe^i' l’équation devient(re^i)ⁿRe^i'  r e^{n ni} Re^i'



' 2 rn R n  k



  

 

' 2 0,1,2,..., 1

r n R

k k n

n n

 





   

alors z_k re^{i n 2kn}

 

  

 

 

 où k



0,1,2,...,n1



Théorème et définition :

Soit u un nombre complexe non nul d’argument  et ^{n *}. L’équation ^{zn u} admet dans , n solutions distinctes définies par

i 2k

n n

zk re

 

  

 

 

 ,k



0,1,2,...,n1



,où r est le réel strictement positif tel quelque rⁿ u. Ces solutions sont appelées les racines n^ième du nombre complexe u .

Application10:

 Déterminer les racines cubiques de l’unité .

 Déterminer les racines sixième de -1

L)

Exemples d’équation de degré supérieur ou égal à 3 : Activité :

On considère , dans ,l’équation (E) : z³ 



1 4i z



² 



7 3i z



  6 2 0i . 1) Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire et la déterminer . 2) Résoudre l’équation (E) .