Forme exponentielle d’un nombre complexe

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Notation

Pour tout réel^θ, on notee^iθ le nombrecos^θ₊isin^θ

Notation

Pour tout réel^θ, on notee^iθ le nombrecos^θ₊isin^θ

En effet, en posantf(^θ)=cos^θ+isin^θ, on montre à partir des propriétés trigonométriques que :

Pour tout^θ_∈^Ret tout^θ′_∈^R,f(^θ)f(^θ′)₌f(^θ₊^θ′).

Or cette propriété est la relation fonctionnelle que nous avons trouvée pour la fonction exponentielle d’un réel.

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Notation

Pour tout réel^θ, on notee^iθ le nombrecos^θ₊isin^θ

En effet, en posantf(^θ)=cos^θ+isin^θ, on montre à partir des propriétés trigonométriques que :

Pour tout^θ_∈^Ret tout^θ′_∈^R,f(^θ)f(^θ′)₌f(^θ₊^θ′).

Or cette propriété est la relation fonctionnelle que nous avons trouvée pour la fonction exponentielle d’un réel.

La véritable justification vient d’une définition différente de la fonction exponentielle à l’aide d’une somme infinie de termes, valable dans^Retdans^C, mais qu’on ne voit qu’après le bac !

Exemples cos^π

4⁺isin^π 4⁼e^iπ4

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Exemples cos^π

4⁺isin^π 4⁼e^iπ4 e^iπ6 ₌cos^π

6⁺isin^π 6

Trouver la forme exponentielle d’un nombre complexe On commence par trouver le module et un argument

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Trouver la forme exponentielle d’un nombre complexe On commence par trouver le module et un argument Exemples

1₊i^p3₌2 Ã1

2⁺i p3

2

!

=2^³cos^π

3⁺isin^π 3

´

=2e^iπ3

Trouver la forme exponentielle d’un nombre complexe On commence par trouver le module et un argument Exemples

1₊i^p3₌2 Ã1

2⁺i p3

2

!

=2^³cos^π

3⁺isin^π 3

´

=2e^iπ3

5=5(cos(0)+iisin(0))=5eⁱ⁰(qu’on n’utilise jamais !)

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Trouver la forme exponentielle d’un nombre complexe On commence par trouver le module et un argument Exemples

1₊i^p3₌2 Ã1

2⁺i p3

2

!

=2^³cos^π

3⁺isin^π 3

´

=2e^iπ3

5=5(cos(0)+iisin(0))=5eⁱ⁰(qu’on n’utilise jamais !)

−5i=5(0₊i×(−1))=5^³cos^³− π 2

´

+isin^³− π 2

´´

=eⁱ(−^π₂)₌e^−iπ2

Quelques expressions à connaître quasiment par cœur

1 −i₌e^iπ2

2 −i₌e^−iπ2

3 La formule que certains considère comme la plus belle des mathématiques :

e^iπ_{= −}1

(car elle fait intervenir les nombresi(nombre imaginaire),e et^π(nombres transcendants, c’est-à-dire solutions

d’aucune équation algébrique) et qui donne avec ces trois nombres combinés, une expression simple

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Retour sur un nombre vu en TD avec la forme trigonométique On posej= −1

2⁺i p3

2 .

La forme trigonométrique dejestj₌cos2^π

3 ⁺isin2^π 3 . Da forme exponentielle est doncj=e^i23π

Retour sur un nombre vu en TD avec la forme trigonométique On posej= −1

2⁺i p3

2 .

La forme trigonométrique dejestj₌cos2^π

3 ⁺isin2^π 3 . Da forme exponentielle est doncj=e^i23π

Formule du cours

Dans le cours, il y a la formule^¡e^ix¢n=e^inx valable pour tout x∈Retn∈N.

Forme exponentielle d’un nombre complexe

Retour sur un nombre vu en TD avec la forme trigonométique On posej= −1

2⁺i p3

2 .

La forme trigonométrique dejestj₌cos2^π

3 ⁺isin2^π 3 . Da forme exponentielle est doncj=e^i23π

Formule du cours

Dans le cours, il y a la formule^¡e^ix¢n=e^inx valable pour tout x∈Retn∈N.

On en déduit :

a) j³₌^³e^i23π´3₌eⁱ(²₃^π×3)

=e^i2π₌1 (⁴ )

Exemples moins simples

1 ie^iπ3₌e^iπ2e^iπ3₌eⁱ(^π₂+^π₃)

=e^i56π

2 −e^iθ=e^iπe^iθ=e^i(θ+π)

Forme exponentielle d’un nombre complexe