Cours de terminale S Forme trigonométrique d’un nombre complexe

(1)

Cours de terminale S

Forme trigonométrique d’un nombre complexe

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2019-2020

A. OLLIVIER

Cours de terminale S Forme trigonométrique d’un nombre comple

(2)

Rappel de trigonométrie Module et argument Forme trigonométrique Passage d’une forme à l’autre Propriétés Géométrie

A. OLLIVIER

(3)

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2 cos x

sin x

A. OLLIVIER

(4)

x 0 π

6 π 4

π 3

π 2 cos x 1

sin x

A. OLLIVIER

(5)

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2 cos x 1

sin x 0

A. OLLIVIER

(6)

x 0 π

6 π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2 sin x 0

A. OLLIVIER

(7)

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2 sin x 0 1 2

A. OLLIVIER

(8)

x 0 π

6 π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2

√ 2 2 sin x 0 1

2

A. OLLIVIER

(9)

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2

√ 2 2 sin x 0 1

2 √ 2 2

A. OLLIVIER

(10)

x 0 π

6 π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2

√ 2 2

1 2 sin x 0 1

2 √ 2 2

A. OLLIVIER

(11)

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2

√ 2 2

1 2 sin x 0 1

2 √ 2 2

√ 3 2

A. OLLIVIER

(12)

x 0 π

6 π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2

√ 2 2

1 2 0

sin x 0 1 2

√ 2 2

√ 3 2

A. OLLIVIER

(13)

x 0 π 6

π 4

π 3

π 2 cos x 1

√ 3 2

√ 2 2

1 2 0

sin x 0 1 2

√ 2 2

√ 3

2 1

A. OLLIVIER

(14)

Pour tout nombre x :

− 1 ≤ cos x ≤ 1

− 1 ≤ sin x ≤ 1 (cos x ) ² + (sin x ) ² = 1 Propriété

A. OLLIVIER

(15)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; ^→ u , ^→ v ).

Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan complexe.

Le module de z, noté | z | , est

Définition

(16)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; ^→ u , ^→ v ).

Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan complexe.

Le module de z, noté | z | , est la distance OM : | z | = OM.

Définition

(17)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; ^→ u , ^→ v ).

Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan complexe.

Le module de z, noté | z | , est la distance OM : | z | = OM.

Si z est non nul, on appelle argument de z, noté arg(z ), toute mesure en radian de

Définition

(18)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O; ^→ u , ^→ v ).

Soit z un nombre complexe et M son image dans le plan complexe.

Le module de z, noté | z | , est la distance OM : | z | = OM.

Si z est non nul, on appelle argument de z, noté arg(z ), toute mesure en radian de l’angle orienté ( ^→ u ;

−→

OM ) : arg(z) = ( ^→ u ;

−→

OM ) (2π).

Définition

A. OLLIVIER

(19)

A. OLLIVIER

(20)

Si z = a+ib alors | z | =

Propriété

(21)

Si z = a+ib alors | z | = p

a ² + b ² et en notant θ = arg(z), on a : cos θ =

Propriété

(22)

Si z = a+ib alors | z | = p

a ² + b ² et en notant θ = arg(z), on a : cos θ = a

| z | et sin θ =

Propriété

(23)

Si z = a+ib alors | z | = p

a ² + b ² et en notant θ = arg(z), on a : cos θ = a

| z | et sin θ = b

| z | Propriété

A. OLLIVIER

(24)

Exemples

| i | =

A. OLLIVIER

(25)

Exemples

| i | = 1 arg(i) =

A. OLLIVIER

(26)

Exemples

| i | = 1 arg(i) = π 2 (2π)

| − 3 | =

A. OLLIVIER

(27)

Exemples

| i | = 1 arg(i) = π 2 (2π)

| − 3 | = 3

A. OLLIVIER

(28)

Exemples

| i | = 1 arg(i) = π 2 (2π)

| − 3 | = 3 arg( − 3) =

A. OLLIVIER

(29)

Exemples

| i | = 1 arg(i) = π 2 (2π)

| − 3 | = 3 arg( − 3) = π (2π)

A. OLLIVIER

(30)

• Pour tout nombre complexe z,

Propriété

(31)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

Propriété

(32)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

Propriété

(33)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

• Pour tout nombre complexe non nul z : arg( − z ) =

Propriété

(34)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

• Pour tout nombre complexe non nul z : arg( − z ) = arg(z) + π (2π)

arg(z ) =

Propriété

(35)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

• Pour tout nombre complexe non nul z : arg( − z ) = arg(z) + π (2π)

arg(z ) = − arg(z) (2π)

Propriété

(36)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

• Pour tout nombre complexe non nul z : arg( − z ) = arg(z) + π (2π)

arg(z ) = − arg(z) (2π)

• z est un réel, (z 6 = 0), ssi

Propriété

(37)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

• Pour tout nombre complexe non nul z : arg( − z ) = arg(z) + π (2π)

arg(z ) = − arg(z) (2π)

• z est un réel, (z 6 = 0), ssi arg(z ) = 0 (π).

Propriété

(38)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

• Pour tout nombre complexe non nul z : arg( − z ) = arg(z) + π (2π)

arg(z ) = − arg(z) (2π)

• z est un réel, (z 6 = 0), ssi arg(z ) = 0 (π).

• z est un imaginaire pur, (z 6 = 0), ssi

Propriété

(39)

• Pour tout nombre complexe z, zz = a ² + b ² = | z | ²

• Pour tout nombre complexe z, | − z | = | z | = | z | .

• Pour tout nombre complexe non nul z : arg( − z ) = arg(z) + π (2π)

arg(z ) = − arg(z) (2π)

• z est un réel, (z 6 = 0), ssi arg(z ) = 0 (π).

• z est un imaginaire pur, (z 6 = 0), ssi arg(z) = π

2 (π).

Propriété

A. OLLIVIER

(40)

Démonstration zz =

A. OLLIVIER

(41)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) =

A. OLLIVIER

(42)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² =

A. OLLIVIER

(43)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | =

A. OLLIVIER

(44)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | = | − a − ib | =

A. OLLIVIER

(45)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | = | − a − ib | = q

( − a) ² + ( − b) ² =

A. OLLIVIER

(46)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | = | − a − ib | = q

( − a) ² + ( − b) ² = p

a ² + b ² =

A. OLLIVIER

(47)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | = | − a − ib | = q

( − a) ² + ( − b) ² = p

a ² + b ² = | z | De même : | z | =

A. OLLIVIER

(48)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | = | − a − ib | = q

( − a) ² + ( − b) ² = p

a ² + b ² = | z | De même : | z | = | a − ib | =

A. OLLIVIER

(49)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | = | − a − ib | = q

( − a) ² + ( − b) ² = p

a ² + b ² = | z | De même : | z | = | a − ib | =

q

a ² + ( − b) ² =

A. OLLIVIER

(50)

Démonstration

zz = (a + ib)(a − ib) = a ² − (ib) ² = a ² + b ²

| − z | = | − a − ib | = q

( − a) ² + ( − b) ² = p

a ² + b ² = | z | De même : | z | = | a − ib | =

q

a ² + ( − b) ² = p

a ² + b ² = | z |

A. OLLIVIER

(51)

Démonstration

arg( − z) = arg(z) + π (2π) arg(z) = − arg(z) (2π) z est un réel, (z 6 = 0), ssi arg(z) = 0 (π).

z est un imaginaire pur, (z 6 = 0), ssi arg(z) = π (π). 2

A. OLLIVIER

(52)

Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme sui- vante, dite

Définition

(53)

Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme sui- vante, dite forme trigonométrique :

z = r (cos θ+i sin θ)

Définition

(54)

Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme sui- vante, dite forme trigonométrique :

z = r (cos θ+i sin θ) avec r = | z | et θ = arg(z) (2π) Définition

A. OLLIVIER

(55)

• Si la forme algébrique de z est z = a + bi, avec z 6 = 0, alors sa forme trigonométrique est : z = r (cos θ + i sin θ) avec r =

A. OLLIVIER

(56)

• Si la forme algébrique de z est z = a + bi, avec z 6 = 0, alors sa forme trigonométrique est : z = r (cos θ + i sin θ) avec r = p

a ² + b ² et θ tel que cos θ =

A. OLLIVIER

(57)

• Si la forme algébrique de z est z = a + bi, avec z 6 = 0, alors sa forme trigonométrique est : z = r (cos θ + i sin θ) avec r = p

a ² + b ² et θ tel que cos θ = a

r = a

√ a ² + b ² et sin θ =

A. OLLIVIER

(58)

• Si la forme algébrique de z est z = a + bi, avec z 6 = 0, alors sa forme trigonométrique est : z = r (cos θ + i sin θ) avec r = p

a ² + b ² et θ tel que cos θ = a

r = a

√ a ² + b ² et sin θ = b

r = b

√ a ² + b ² .

A. OLLIVIER

(59)

• Si la forme algébrique de z est z = a + bi, avec z 6 = 0, alors sa forme trigonométrique est : z = r (cos θ + i sin θ) avec r = p

a ² + b ² et θ tel que cos θ = a

r = a

√ a ² + b ² et sin θ = b

r = b

√ a ² + b ² .

• Si la forme trigonométrique de z est z = r (cos θ + i sin θ), alors sa forme algébrique est : z = a + bi avec a =

A. OLLIVIER

(60)

• Si la forme algébrique de z est z = a + bi, avec z 6 = 0, alors sa forme trigonométrique est : z = r (cos θ + i sin θ) avec r = p

a ² + b ² et θ tel que cos θ = a

r = a

√ a ² + b ² et sin θ = b

r = b

√ a ² + b ² .

• Si la forme trigonométrique de z est z = r (cos θ + i sin θ), alors sa forme algébrique est : z = a + bi avec a = r cos θ et b =

A. OLLIVIER

(61)

• Si la forme algébrique de z est z = a + bi, avec z 6 = 0, alors sa forme trigonométrique est : z = r (cos θ + i sin θ) avec r = p

a ² + b ² et θ tel que cos θ = a

r = a

√ a ² + b ² et sin θ = b

r = b

√ a ² + b ² .

• Si la forme trigonométrique de z est z = r (cos θ + i sin θ), alors sa forme algébrique est : z = a + bi avec a = r cos θ et b = r sin θ.

A. OLLIVIER

(62)

Exemple

Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z = 1 + √

3i r =

A. OLLIVIER

(63)

Exemple

Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z = 1 + √

3i r =

q

1 ² + √ 3 ² =

A. OLLIVIER

(64)

Exemple

Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z = 1 + √

3i r =

q

1 ² + √

3 ² = √ 4 =

A. OLLIVIER

(65)

Exemple

Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z = 1 + √

3i r =

q

1 ² + √

3 ² = √

4 = 2 et cos θ =

A. OLLIVIER

(66)

Exemple

Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z = 1 + √

3i r =

q

1 ² + √

3 ² = √

4 = 2 et cos θ = 1

2 , sin θ =

A. OLLIVIER

(67)

Exemple

Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z = 1 + √

3i r =

q

1 ² + √

3 ² = √

4 = 2 et cos θ = 1

2 , sin θ =

√ 3

2 , d’où θ =

A. OLLIVIER

(68)

Exemple

Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe suivant : z = 1 + √

3i r =

q

1 ² + √

3 ² = √

4 = 2 et cos θ = 1

2 , sin θ =

√ 3

2 , d’où θ = π 3 D’où z = 2

cos π

3 + i sin π 3

A. OLLIVIER

(69)

On considère z 6 = 0 et z ^′ 6 = 0.

• Produit

Module : | z × z ^′ | =

A. OLLIVIER

(70)

On considère z 6 = 0 et z ^′ 6 = 0.

• Produit

Module : | z × z ^′ | = | z | × | z ^′ | Argument : arg(zz ^′ ) =

A. OLLIVIER

(71)

On considère z 6 = 0 et z ^′ 6 = 0.

• Produit

Module : | z × z ^′ | = | z | × | z ^′ |

Argument : arg(zz ^′ ) = arg(z) + arg(z ^′ ) (2π)

• Puissance Module : | z ⁿ | =

A. OLLIVIER

(72)

On considère z 6 = 0 et z ^′ 6 = 0.

• Produit

Module : | z × z ^′ | = | z | × | z ^′ |

Argument : arg(zz ^′ ) = arg(z) + arg(z ^′ ) (2π)

• Puissance

Module : | z ⁿ | = | z | ⁿ Argument : arg(z ⁿ ) =

A. OLLIVIER

(73)

On considère z 6 = 0 et z ^′ 6 = 0.

• Produit

Module : | z × z ^′ | = | z | × | z ^′ |

Argument : arg(zz ^′ ) = arg(z) + arg(z ^′ ) (2π)

• Puissance

Module : | z ⁿ | = | z | ⁿ Argument : arg(z ⁿ ) = n arg(z) (2π)

• Inverse Module :

1 z

=

A. OLLIVIER

(74)

On considère z 6 = 0 et z ^′ 6 = 0.

• Produit

Module : | z × z ^′ | = | z | × | z ^′ |

Argument : arg(zz ^′ ) = arg(z) + arg(z ^′ ) (2π)

• Puissance

Module : | z ⁿ | = | z | ⁿ Argument : arg(z ⁿ ) = n arg(z) (2π)

• Inverse Module :

1 z

= 1

| z | Argument : arg( 1 z ) =

A. OLLIVIER

(75)

On considère z 6 = 0 et z ^′ 6 = 0.

• Produit

Module : | z × z ^′ | = | z | × | z ^′ |

Argument : arg(zz ^′ ) = arg(z) + arg(z ^′ ) (2π)

• Puissance

Module : | z ⁿ | = | z | ⁿ Argument : arg(z ⁿ ) = n arg(z) (2π)

• Inverse Module :

1 z

= 1

| z | Argument : arg( 1

z ) = − arg(z) (2π)

A. OLLIVIER

(76)

• Quotient Module :

z z ^′

=

A. OLLIVIER

(77)

• Quotient Module :

z z ^′

= | z |

| z ^′ | Argument : arg( z

z ^′ ) =

A. OLLIVIER

(78)

• Quotient Module :

z z ^′

= | z |

| z ^′ | Argument : arg( z

z ^′ ) = arg(z) − arg(z ^′ ) (2π)

A. OLLIVIER

(79)

Démonstration pour le produit On pose θ = arg(z ) et θ ^′ = arg(z ^′ ).

A. OLLIVIER

(80)

Démonstration pour le produit On pose θ = arg(z ) et θ ^′ = arg(z ^′ ).

zz ^′ = | z | (cos θ + i sin θ) | z ^′ | (cos θ ^′ + i sin θ ^′ )

A. OLLIVIER

(81)

Démonstration pour le produit On pose θ = arg(z ) et θ ^′ = arg(z ^′ ).

zz ^′ = | z | (cos θ + i sin θ) | z ^′ | (cos θ ^′ + i sin θ ^′ ) zz ^′ = | z || z ^′ |

(cos θ cos θ ^′ − sin θ sin θ ^′ ) + i(sin θ cos θ ^′ + cos θ sin θ ^′ )

A. OLLIVIER

(82)

Démonstration pour le produit On pose θ = arg(z ) et θ ^′ = arg(z ^′ ).

zz ^′ = | z | (cos θ + i sin θ) | z ^′ | (cos θ ^′ + i sin θ ^′ ) zz ^′ = | z || z ^′ |

(cos θ cos θ ^′ − sin θ sin θ ^′ ) + i(sin θ cos θ ^′ + cos θ sin θ ^′ ) zz ^′ = | z || z ^′ |

cos(θ + θ ^′ ) + i sin(θ + θ ^′ )

A. OLLIVIER

(83)

Démonstration pour le produit On pose θ = arg(z ) et θ ^′ = arg(z ^′ ).

zz ^′ = | z | (cos θ + i sin θ) | z ^′ | (cos θ ^′ + i sin θ ^′ ) zz ^′ = | z || z ^′ |

(cos θ cos θ ^′ − sin θ sin θ ^′ ) + i(sin θ cos θ ^′ + cos θ sin θ ^′ ) zz ^′ = | z || z ^′ |

cos(θ + θ ^′ ) + i sin(θ + θ ^′ )

Donc le module de zz ^′ est | zz ^′ | et un argument de zz ^′ est θ + θ ^′ = arg(z ) + arg(z ^′ )

A. OLLIVIER

(84)

| z + z ^′ | ≤

Propriété (Inégalité triangulaire)

(85)

| z + z ^′ | ≤ | z | + | z ^′ |

Propriété (Inégalité triangulaire)

A. OLLIVIER

(86)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

A. OLLIVIER

(87)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

A. OLLIVIER

(88)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

A. OLLIVIER

(89)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

A. OLLIVIER

(90)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | =

A. OLLIVIER

(91)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | = | z M | =

A. OLLIVIER

(92)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | = | z M | = OM =

A. OLLIVIER

(93)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | = | z M | = OM = AB

A. OLLIVIER

(94)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | = | z M | = OM = AB arg(z B − z A ) =

A. OLLIVIER

(95)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | = | z M | = OM = AB arg(z B − z A ) = arg(z M ) =

A. OLLIVIER

(96)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | = | z M | = OM = AB arg(z B − z A ) = arg(z M ) = ( − → u ; −−→

OM ) =

A. OLLIVIER

(97)

Soient A, B et C trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives z A , z B et z _C .

| z B − z A | = AB et arg(z _B − z A ) = ( ^→ u ;

−→

AB) (2π) Propriété

Démonstration :

Il existe un unique point M dans le plan complexe tel que

−−→ OM = −→

AB.

Donc z _M = z _B − z _A en notant z _M l’affixe du point M.

Par suite : | z B − z A | = | z M | = OM = AB arg(z B − z A ) = arg(z M ) = ( − → u ; −−→

OM ) = ( − → u ; −→

AB)

A. OLLIVIER

(98)

z B − z _C z _A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z _C z _A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) (2π) Propriété

A. OLLIVIER

(99)

z B − z _C z _A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z _C z _A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) (2π) Propriété

Démonstration :

z B − z C

z A − z _C

=

A. OLLIVIER

(100)

z B − z _C z _A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z _C z _A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) (2π) Propriété

Démonstration :

z B − z C

z A − z _C

= | z B − z C |

| z A − z _C | =

A. OLLIVIER

(101)

z B − z _C z _A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z _C z _A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) (2π) Propriété

Démonstration :

z B − z C

z A − z _C

= | z B − z C |

| z A − z _C | = CB CA

A. OLLIVIER

(102)

z B − z C

z A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z C

z A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) [2π]

Propriété

Démonstration :

A. OLLIVIER

(103)

z B − z C

z A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z C

z A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) [2π]

Propriété

Démonstration :

arg z B − z _C z A − z C

!

= arg(z B − z C ) − arg(z A − z C )

A. OLLIVIER

(104)

z B − z C

z A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z C

z A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) [2π]

Propriété

Démonstration :

arg z B − z _C z A − z C

!

= arg(z B − z C ) − arg(z A − z C )

= ( − → u ; −→

CB) − ( − → u ; −→

CA) = ( −→

CA; − → u ) + ( − → u ; −→

CB)

A. OLLIVIER

(105)

z B − z C

z A − z _C

= CB

CA et arg

z B − z C

z A − z _C

= (

−→

CA;

−→

CB) [2π]

Propriété

Démonstration :

arg z B − z _C z A − z C

!

= arg(z B − z C ) − arg(z A − z C )

= ( − → u ; −→

CB) − ( − → u ; −→

CA) = ( −→

CA; − → u ) + ( − → u ; −→

CB)

= (

−→

CA;

−→

CB) [2π]

A. OLLIVIER

(106)

Par conséquent, les points A, B et C sont alignés si et seulement si arg z B − z C

z A − z C

!

=

A. OLLIVIER

(107)

Par conséquent, les points A, B et C sont alignés si et seulement si arg z B − z C

z A − z C

!

= 0 (π)

A. OLLIVIER

(108)

Par conséquent, les points A, B et C sont alignés si et seulement si arg z B − z C

z A − z C

!

= 0 (π)

et les droites (BC) et (AC ) sont perpendiculaires si et seulement si arg z B − z C

z A − z _C

!

=

A. OLLIVIER

(109)

Par conséquent, les points A, B et C sont alignés si et seulement si arg z B − z C

z A − z C

!

= 0 (π)

et les droites (BC) et (AC ) sont perpendiculaires si et seulement si arg z B − z C

z A − z _C

!

= π 2 (π)

A. OLLIVIER

(110)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R :

A. OLLIVIER

(111)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔

A. OLLIVIER

(112)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔ ΩM = R ⇔

A. OLLIVIER

(113)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔ ΩM = R ⇔ | z − ω | = R.

A. OLLIVIER

(114)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔ ΩM = R ⇔ | z − ω | = R.

Caractérisation de la médiatrice ∆ de [AB] :

A. OLLIVIER

(115)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔ ΩM = R ⇔ | z − ω | = R.

Caractérisation de la médiatrice ∆ de [AB] : M(z) ∈ ∆ ⇔

A. OLLIVIER

(116)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔ ΩM = R ⇔ | z − ω | = R.

Caractérisation de la médiatrice ∆ de [AB] : M(z) ∈ ∆ ⇔ AM = BM ⇔

A. OLLIVIER

(117)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔ ΩM = R ⇔ | z − ω | = R.

Caractérisation de la médiatrice ∆ de [AB] : M(z) ∈ ∆ ⇔ AM = BM ⇔ | z − z A | =

A. OLLIVIER

(118)

Caractérisation du cercle Γ de centre Ω(ω) et de rayon R : M(z) ∈ Γ ⇔ ΩM = R ⇔ | z − ω | = R.

Caractérisation de la médiatrice ∆ de [AB] : M(z) ∈ ∆ ⇔ AM = BM ⇔ | z − z A | = | z − z B | .

A. OLLIVIER