Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver une forme algébrique Soit | z | = 2 et arg(z) = − π
4 ; écrire z tout forme algébrique
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Soit | z | = 2 et arg(z) = − π
4 ; écrire z tout forme algébrique
On sait que z = | z | (cos θ + i sin θ ) si θ = arg(z)
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver une forme algébrique Soit | z | = 2 et arg(z) = − π
4 ; écrire z tout forme algébrique
On sait que z = | z | (cos θ + i sin θ ) si θ = arg(z)
On a donc z = 2 ³ cos ³ − π
4
´
+ i sin ³ − π 4
´´
= 2 Ã p
2 2 + i
Ã
− p 2
2
!!
= p
2 ³ p 2 − i p 2 ´
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Soit | z | = 4 et arg(z) = π ; écrire z tout forme algébrique
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver une forme algébrique
Soit | z | = 4 et arg(z) = π ; écrire z tout forme algébrique
On a : z = 4 (cos π + i sin π ) = 4 × ( − 1 + i × 0) = − 4
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Soit | z | = p 3 et arg(z ) = 2 π
3 ; écrire z tout forme algébrique
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver une forme algébrique Soit | z | = p 3 et arg(z ) = 2 π
3 ; écrire z tout forme algébrique
z = | z | (cos θ + i sin θ )
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Soit | z | = p 3 et arg(z ) = 2 π
3 ; écrire z tout forme algébrique
z = | z | (cos θ + i sin θ )
On en déduit : z = p 3
µ cos
µ 2 π 3
¶ + i sin
µ 2 π 3
¶¶
= p 3
Ã
− 1 2 + i
p 3 2
!
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants
Déterminer le module et un argument de a = 2 ³ cos ³ π 5
´
+ i sin π 5
´
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
suivants
Déterminer le module et un argument de a = 2 ³ cos ³ π 5
´
+ i sin π 5
´
Rappel : le forme trigonométrique de z est z = r (cos θ + i sin θ ) avec r = | z | > 0
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants
Déterminer le module et un argument de a = 2 ³ cos ³ π 5
´
+ i sin π 5
´
Rappel : le forme trigonométrique de z est z = r (cos θ + i sin θ ) avec r = | z | > 0
2 > 0 donc a = r cos θ + i sin θ avec r = 2 et θ = π 5 .
| a | = 2 et arg(a) = π 5 .
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
b = − 3 cos
3 + i sin 3 .
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
b = − 3 ³ cos ³ π 3
´
+ i sin ³ π 3
´´ .
Rappel : | cos θ + i sin θ | = q
(cos θ ) 2 + (sin θ ) 2 = p 1 = 1 Conclusion : pour tout θ , | cos θ + i sin θ | = 1
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b = − 3 cos
3 + i sin 3 .
Rappel : | cos θ + i sin θ | = q
(cos θ ) 2 + (sin θ ) 2 = p 1 = 1 Conclusion : pour tout θ , | cos θ + i sin θ | = 1
| b | = ¯ ¯ ¯− 3 ³ cos ³ π 3
´
+ i sin ³ π 3
´´¯
¯
¯ = |− 3 | ¯ ¯ ¯ cos ³ π 3
´
+ i sin ³ π 3
´¯
¯
¯ = |− 3 | = 3
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
b = − 3 ³ cos ³ π 3
´
+ i sin ³ π 3
´´ .
Rappel : | cos θ + i sin θ | = q
(cos θ ) 2 + (sin θ ) 2 = p 1 = 1 Conclusion : pour tout θ , | cos θ + i sin θ | = 1
| b | = ¯ ¯ ¯− 3 ³ cos ³ π 3
´
+ i sin ³ π 3
´´¯
¯
¯ = |− 3 | ¯ ¯ ¯ cos ³ π 3
´
+ i sin ³ π 3
´¯
¯
¯ = |− 3 | = 3
Determination d’un argument Soit θ = arg(b).
cos θ = Re(b)
| b | =
− 3 cos ³ π 3
´
3 = − cos ³ π 3
´
sin θ = Im(b)
| b | =
− 3sin ³ π 3
´
3 = − sin ³ π 3
´
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
On cherche donc θ tel que
cos θ = − cos 3 sin θ = − sin π
3
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On cherche donc θ tel que
cos θ = − cos π 3 sin θ = − sin π
3
On en déduit que θ = π
3 + π + 2k π = 4 π
3 = 2k π , k ∈ Z . La mesure principale est θ = π
3 − π = π − 3 π
3 = − 2 π
3
| b | = 3 et arg(b) = − 2 π 3
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver le module et un argument de c = cos
4 − i sin 4
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver le module et un argument de c = cos µ 3 π
4
¶
− i sin µ 3 π
4
¶
On trouve | c | = 1
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver le module et un argument de c = cos
4 − i sin 4
On trouve | c | = 1
Recherche d’un argument θ
On doit avoir c = cos θ + i sin θ donc
cos θ = cos µ 3 π
4
¶
sin θ = − sin µ 3 π
4
¶
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
Trouver le module et un argument de c = cos µ 3 π
4
¶
− i sin µ 3 π
4
¶
On trouve | c | = 1
Recherche d’un argument θ
On doit avoir c = cos θ + i sin θ donc
cos θ = cos µ 3 π
4
¶
sin θ = − sin µ 3 π
4
¶
θ et 3 π
4 doivent avoir le même cosinus mais des sinus opposés.
En raisonnant sur le cercle trigonométrique, on trouve θ = − 3 π En effet cos( − α ) = cos α et sin( − α ) = − sin α 4
Exemples sur la forme trigonométrique de nombres complexes
| d | = 1 et arg(d) = − 3 π 4
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