2 La forme trigonométrique des complexes

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mathématiques - S’1 Nombres complexes département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble

1 Généralités sur les complexes :

On admet le résultat suivant :

Il existe un ensembleC,

dont les éléments sont appelésnombres complexes et qui vérifie les propriétés :

Ccontient tous les réels,

Ccontient un nombre, notéi, tel quei²=−1,

Tout élémentzdeCs’écrit de façon uniquez=a+ibaveca,b∈R, Les calculs algébriques s’effectuent comme surR, en rajoutant

simplement la nouvelle règlei²=−1. Ainsi : (a+ib) + (a⁰+ib⁰) = (a+a⁰) +i(b+b⁰), (a+ib).(a⁰+ib⁰) = (aa⁰−bb⁰) +i(ab⁰+a⁰b).

Pour un nombre complexez=a+ib, on définit successivement : sapartie réelleRe(z) =aet

sapartie imaginaireIm(z) =b, sonconjuguéz¯=a−ib, sonmodule|z|=√

a²+b², qui est un réel positif

Citons quelques propriétés valables pour tousz,z⁰∈Cetn∈N:

– z+z⁰=z¯+z⁰, – ¯¯z=z,

– z+z¯=2Re(z),z−z¯=2iIm(z) – zz⁰=zz¯ ⁰, et donczⁿ=z¯ⁿ, – |z|=0 si et seulement siz=0, – |¯z|=|z|,

– |zz⁰|=|z||z⁰|, et donc|zⁿ|=|z|ⁿ, – |z+z⁰| ≤ |z|+|z⁰|

(c’est l’inégalité triangulaire), – z¯z=|z|²,

– toutznon nul admet un inverse, et l’on a1

z = z¯

|z|².

exemples :siz1=i, Re(z1) =0, Im(z1) =1, ¯z1=−i, |z1|=1, z²₁=−1, 1 z1=−i.

Siz2=3−i, Re(z2) =3, Im(z2) =−1, ¯z2=3+i,|z2|=√

10,z²₂=8−6i, 1

z2 =3+i 10 . Siz3=1+i, Re(z3) =Im(z3) =1, ¯z3=1−i, |z3|=√

2, z²₃=−2, 1

z3 =1−i 2 . Méthode de la quantité conjuguée :une « astuce » fondamentale dans les calculs dé- coule de la relationz¯z=|z|²:

dans une fraction, si l’on souhaite faire disparaître un dénominateur complexe, il suffit de multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir une fraction égale à la première et dont le dénominateur est un réel strictement positif.

Ainsi par exemple,3+2i

5+i =3+2i 5+i ×5−i

5−i=(3+2i)(5−i)

(5+i)(5−i) =17+7i 26 .

2 La forme trigonométrique des complexes

2.1 l’exponentielle complexe

Commençons par une définition :

pour toutθréel, on notee^iθle nombre complexe cos(θ) +isin(θ).

Cela permet de prolonger àCla fonction exponentielle déjà définie surR:

l’exponentielle d’un complexez=a+ibest exp(z) =e^z=e^ae^ib=e^a(cosb+isinb).

Parmi les propriétés de l’exponentielle complexe, citons :

e^2iπ=1, e^iπ=−1, e^iπ/2=i, pour toutθ∈R,|e^iθ|=1,

pour toutz∈C,e^z6=0, pour tousz,z⁰∈C,e^ze^z0=e^z+z0, donc en particulier, siz∈Cetn∈Z,

(e^z)ⁿ=e^nz et 1 e^z =e^−z.

Cas d’égalité : sie^z=e^z0, peut-on comparerzetz⁰? Posonsz=a+ib,z⁰=a⁰+ib⁰. On a alors|e^z|=e^aet|e^z0|=e^a0, donce^a=e^a0, et par conséquenta=a⁰.

Mais alorse^ib=e^ib0, donc cosb=cosb⁰, sinb=sinb⁰, et doncb=b⁰+2kπaveck∈Z. Ainsi :

e^z=e^z0si et seulement si Re(z) =Re(z⁰)et Im(z) =Im(z) +2kπ,k∈Z.

2.2 nombres complexes de module 1

On vient de voir que pour toutθréel,|e^iθ|=1.

Réciproquement, fixonsa+ibde module 1 : a²+b²=1. En particulier,−1≤a≤ 1, donc arccosa est bien défini et cosarccosa=a, sin²arccosa=1−a²=b², donc sinarccosa=±b.

Si sinarccosa=b, on poseθ=arccosa, et si sinarccosa=−b,θ=−arccosa. Dans tous les cas, pour la valeur choisie deθ, cosθ=aet sinθ=b, donca+ib=e^iθ. En résumé :

soitz∈C; alors|z|=1 si et seulement si il existeθ∈Rtel quez=e^iθ.

Et l’angleθainsi défini est unique à 2kπprès,kentier.

2.3 argument d’un nombre complexe

Soitzun complexe non nul.

Alors z

|z| est de module 1, donc il existeθtel que z

|z|=e^iθ, et doncz=|z|e^iθ. θest appelé unargumentdez;θn’est bien défini qu’à 2kπprès.

Maiszpossède un unique argument compris dans l’intervalle]−π,π]: c’est sonargu- ment principal, noté arg(z).

Sizest un complexe non nul,z=ρe^iθ, avecρ=|z|etθ=arg(z) +2kπ,k∈Z.

En particulier arg(zⁿ) =narg(z) +2kπ,k∈Z(mais on n’a pas égalité en général : par exemple arg(i⁴) =arg(1) =06=4arg(i) =2π).

remarques :

– arg(0)n’est pas bien défini car 0=0e^iθpour n’importe quelle valeur deθ.

– les réels non nuls sont caractérisés par le fait que arg(z) =0 ou arg(z) =π,

– lesimaginaires pursnon nuls, nombres de la formez=bi,b∈R∗, sont caractérisés par le fait que arg(z) =π

2 ou arg(z) =−π 2. Pour un nombre complexez,

la notationz=a+ibest laforme algébriqueouforme cartésiennedez, la notationz=ρe^iθest laforme polaireouforme trigonométriquedez.

Selon les problèmes, l’une ou l’autre de ces écritures sera plus simple à manipuler.

2.4 formules de Moivre et d’Euler

Les deux importantes formules qui suivent découlent immédiatement des propriétés vues dans ce qui précède ; on va les expliciter et expliquer leur utilité. On commence par la

formule de Moivre :

siθest un réel,nun entier positif ou négatif, (cosθ+isinθ)ⁿ=cosnθ+isinnθ.

Elle permet de déterminer les formules usuelles de l’arc double, triple, ... bien plus rapidement qu’en appliquant les formules donnant cos(a+b)et sin(a+b)pour obtenir successivement cos2θ=cos(θ+θ), cos3θ=cos(θ+2θ), . . .

Par exemple, si l’on souhaite calculer cos3θen fonction de cosθet sinθ, on sait que cos3θ=Re(e^3iθ), donc par la formule de Moivre, cos3θ=Re(e^iθ)³=Re(cosθ+isinθ)³, et en utilisant la formule du binôme, cos3θ=Re(cos³θ+3icos²θsinθ−3cosθsin²θ− isin³θ) =cos³θ−3cosθsin²θ, que l’on peut aussi écrire cos3θ=4cos³θ−3cosθ.

D’autre part on a la

formule d’Euler :siθest un réel,

sinθ=e^iθ−e^−iθ

2i et cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 .

Cette formule est utile en particulier pour linéariser les polynômes trigonométriques (dans le but par exemple de calculer leurs intégrales). Un polynôme trigonométrique est une somme de termes du type(sinθ)^p(cosθ)^qavecp,q∈N; le linéariser, c’est l’exprimer comme une somme de termes de la forme sinkθou coskθ.

Pour cela, on commence par remplacer grâce à la formule de Moivre dans le polynôme tous les cosθet sinθpar sinθ=e^iθ−e^−iθ

2i et cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 . Puis, à l’aide de la formule du binôme, on développe toutes les puissances, on effectue tous les produits. En utilisant la propriétée^iaθe^ibθ=e^i(a+b)θ, on obtient finalement des sommes d’exponentiellese^ikθ. Et on peut toujours regrouper les termese^ikθete^−ikθde manière à exprimer le résultat comme somme de sinkθet coskθ.

exemple :si on souhaite linéariser cos²θsin²θ, qui est un polynôme en sinus et cosinus, on écrit cos²θsin²θ=

e^iθ+e^−iθ 2

²e^iθ−e^−iθ 2i

²

=2−e^4iθ−e^−4iθ

16 =1−cos4θ

8 ,

2.5 représentation plane

On fixe un repère direct du plan(O,~i,~j).

Entre autres applications, les nombres complexes permettent de décrire facilement les points du plan : si un point a pour coordonnéesM(a,b), on peut lui associer le complexe z=a+ib, appelé l’affixedeM. Réciproquement, à tout complexez=a+ibon peut asso- cier le pointM(a,b).

Il est alors d’interpréter géométriquement la forme trigonométrique de l’affixe : si z=a+ib=ρe^iθ est l’affixe deM,ρ=OM, distance deM au centre du repère, etθest l’angle(~i, ~OM).

La multiplication par un complexe trouve alors aussi son intérprétation géométrique : multiplier un complexe pare^iθrevient à donner son image par la rotation d’angleθ. Mul- tiplier un complexe par un nombre réelkrevient à donner son image par l’homothétie de rapportk. Et donc la multiplication par un complexezquelconque revient à appliquer la similitude de rapport|z|et d’angle arg(z).

3 Equations dans C

3.1 les racines carrées

Siz∈Cest fixé, uneracine carréedezest un nombre complexewtel quew²=z.

Dans le cas réel, on sait :

– que 0 admet une unique racine carrée réelle, 0 ;

– que tout nombre réelx>0 admet exactement deux racines carrées réelles : l’une strictement positive notée√x, et l’autre strictement négative qui vaut−√x;

– qu’un nombre réel strictement négatif n’admet aucune racine carrée (car « un carré est toujours positif »).

Mais, par définition même dei, le réel -1 admet (au moins) deux racines carrées com- plexes :iet−i. Ce résultat se généralise-t-il ? Autrement dit, un nombre complexe admet-il toujours des racines carrées complexes ? Nous allons voir que la réponse est positive.

Précisons : siz=0,zadmet 0 pour unique racine carrée complexe, car un racinewdoit vérifier|w²|=|w|.|w|=0, donc le module dewest nul, ce qui impose àwd’être nul aussi.

Dans tous les autres cas, écrivonsz=ρe^iθ avec ρ>0 et θ∈R; on cherche alors w=re^iφ, avecr>0 etφ∈R, tel quew²=z. Mais alors :

w²=z ⇐⇒ (re^iφ)²=ρe^iθ

⇐⇒ r²e^2iφ=ρe^iθ

⇐⇒

r² = ρ

2φ = θ+2kπ, k∈Z w²=z ⇐⇒

r = √ρ

φ = θ/2+kπ, k∈Z Donc :

tout nombre complexe non nulz=ρe^iθ

admet exactement deux racines carrées complexes distinctes,

√ρ e^iθ/2 et √ρ e^i(θ/2+π)=−√ρ e^iθ/2.

exemple 1 :déterminer les racines carrées dei.

Commei=e^iπ/2, ses racines carrées sonte^iπ/4et−e^iπ/4, soit 1+i

√2 et−1+i

√2.

exemple 2 : sixest un réel strictement positif, quelles-sont les racines carrées de−x? La forme trigonométrique de−xest−x=x e^iπ, donc−xadmet deux racines carrées complexes,√xe^iπ/2et√xe^−iπ/2, soit√xiet−√xi.

remarque 1 : on peut montrer avec les formes algébriques que les racines car- rées de a+ib sont, dans le cas où b6=0,

ra+√ a²+b²

2 +i b

q2(a+√ a²+b²)

et

−

ra+√ a²+b²

2 −i b

q2(a+√ a²+b²)

. Formules qu’il n’est pas nécessaire de retenir...

remarque 2 : il estformellement interditd’employer la notation, source d’erreurs,

√−1, et plus généralement√zpour désigner « la » racine carrée d’un nombre complexe (non réel positif)...sizn’est pas un réel positif, il n’y a aucune raison de « préférer » l’une des racines à l’autre. Il faut utiliser une phrase du type « soitwune racine carrée dez».

3.2 l’équation du second degré

La recherche des racines carrées d’un nombrecest équivalente à la résolution de l’équa- tion d’inconnueX²−c=0. Et le fait d’avoir résolu cette dernière va nous permettre fa- cilement de résoudre une équation un peu plus générale, l’équation du second degré à coefficients complexes: il s’agit de l’équationaz²+bz+c=0 d’inconnuez, aveca,b,c des complexes fixés,aétant non nul.

On commence par transformer l’équation :

az²+bz+c=0 ⇐⇒ a(z²+b az+c

a) =0

⇐⇒ z²+b az+c

a=0

⇐⇒ (z+ b

2a)²−(b 2a)²+c

a=0

⇐⇒ (z+ b

2a)²− b² 4a²+4ac

4a² =0 az²+bz+c=0 ⇐⇒ (z+ b

2a)²=b²−4ac 4a²

Siδdésigne une racine carrée de∆=b²−4ac, on a donc :

az²+bz+c=0 ⇐⇒ (z+ b

2a)²= δ² 4a²

⇐⇒ z+ b 2a=± δ

2a az²+bz+c=0 ⇐⇒ z=−b±δ

2a

Ainsi,

sia,b,csont des nombres complexes aveca6=0, les solutions complexes de l’équationaz²+bz+c=0 sont

z1=−b+δ

2a et z2=−b−δ 2a ,

δdésignant une racine carrée dudiscriminant∆=b²−4ac.

L’équation a donc deux solutions distinctes si∆6=0, et une solution unique si∆=0.

Dans le cas particulier où les coefficients sont réels, le discriminant∆est réel, et donc δvaut soit±√

∆si∆≥0, soit±i√

−∆si∆<0. On retrouve le résultat bien connu :

sia,b,csont des nombres réels aveca6=0, si∆=b²−4ac, l’équationax²+bx+c=0 d’inconnuexadmet :

si∆>0, deux solutions réelles, x1=−b+√

∆

2a etx2=−b−√

∆ 2a si∆=0, une unique solution réelle,

x=−b 2a

si∆<0, pas de solutions réelles, mais deux solutions complexes conjuguées,

x1=−b+i√

−∆

2a etx2=−b−i√

−∆

2a .

3.3 les racines n-ièmes

Siz∈Cetn∈N∗, uneracinen-ièmed’un nombrezest un nombrewtel quewⁿ=1.

Grâce à l’écriture sous forme trigonométrique des complexes, il est tout aussi facile de déterminer les racinesn-ièmes d’un nombre complexe que ses racines carrées :znon nul étant fixé, écrivonsz=ρe^iθavecρ>0 ; on cherchew=re^iφ, avecr>0, tel quewⁿ=z.

Alors :

wⁿ=z ⇐⇒ (re^iφ)ⁿ=ρe^iθ

⇐⇒ rⁿe^inφ=ρe^iθ

⇐⇒

rⁿ = ρ

nφ = θ+2kπ, k∈Z wⁿ=z ⇐⇒

r = √ⁿρ

φ = θ/n+2kπ/n, k∈Z Ainsi :

un nombre complexeznon nul possèdenracinesn-ièmes complexes distinctes, les √ⁿρe^iθ/ne^2ikπ/n, pourkcompris entre 0 etn−1.

remarque : on peut aussi faire varierkentre 1 etn, ou bien sinest pair entre−ⁿ⁻₂² et ⁿ₂, ou bien sinest impair, entre−ⁿ⁻₂¹ et ⁿ⁻₂¹. Ce qui compte est de prendrenentiers consécutifs pour obtenirnracinesn-ièmes distinctes.

Les nombresω_k=e^2ikπ/npour 0≤k≤n−1 sont donc lesracinesn-ièmes de l’unité.

Et on voit que sizest un nombre complexe etwl’une, quelconque, de ses racinesn- ièmes, les racinesn-ièmes dezsont exactement leswωkpourkcompris entre 0 etn−1.

Géométriquement, ces racines correspondent aux sommets d’un polygone régulier àn côtés inscrit dans le cercle de centreOet de rayonpⁿ

|z|. exemple 1 :déterminer les racines cubiques de l’unité.

On écrit 1=1×e^i×0; les racines cubiques sont donce⁰=1,e^2iπ/3=cos^2π₃ +isin^2π₃ =

−¹₂+^√₂³iete^4iπ/3=cos^4π₃ +isin^4π₃ =−¹₂−^√₂³i.

Les trois racines cubiques de l’unité sont donc 1,−1+√ 3i

2 et −1−√ 3i

2 .

exemple 2 :déterminer les racines quatrièmes de l’unité.

1=1e⁰ⁱ, donc les quatres racines sont 1,e^2iπ/4=e^iπ/2,e^4iπ/4=e^iπ, ete^6iπ/4=e^3iπ/2= e^−iπ/2, soit 1,i,−1,−i.

exemple 3 :déterminer les racines cubiques de 1+i.

On écrit 1+i=√

2×e^iπ/4; ses racines cubiques sont doncw1=√⁶

2e^iπ/12, w2=

√6

2eiπ/12+2iπ/3etw3=√⁶

2eiπ/12+4iπ/3. On remarque quew2=w1e^2iπ/3= −1+√

3i

2 w1etw3=w1e^4iπ/3=−1−√ 3i 2 w1: il suffit donc de calculer la forme algébrique dew1.

w1=cos₁₂^π +isin₁₂^π, il reste à déterminer cos₁₂^π et sin₁₂^π. La relation cos²x=^1+cos2x₂ donne cos²₁₂^π = ^1+cos₂ ^π6 = ²⁺₄^√3, donc, étant positif, cos₁₂^π =

√2+√3

2 . On en déduit sin₁₂^π =

√2−√3

2 , et donc finalementw1=√⁶ 2(√

2+√3 2 +i√

2−√3 2 ).

Et il reste à développer les produits pour trouver d’affreuses formes algébriques pour w2etw3...