TD 11
Nombres complexes : module, argument, forme exponentiel le
T.S
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My Maths Space - 2016
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EXERCICE 1 Propriétés du module et de l’argument
1. Calculer le module et un argument de i, 1 + i et√ 3 + i.
2. En déduire le module et un argument de chacun des nombres suivants : a.i(1 + i) b.(1 + i)6 c. 1
√3 + i d. −3
1 + i e. (1 + i)2 (√3 + i)3
EXERCICE 2 Étudier une configuration géométrique
Soit les pointsa, B etC d’affixes respectives 1 + 2i, 2 et−1 + i.
1. Placer les trois points dans le plan complexe. Que peut-on conjecturer sur la nature du triangleABC? 2. Démontrer cette conjecture.
EXERCICE 3 Écrire sous forme exponentielle
On considère les nombres complexes :a= 2i,b=−4i,c= 1 + i,d=√3−i ete=−3−3i.
1. Placer dans le plan complexe les pointsA, B, C, D et E d’affixes respectivesa, b, c, det e.
2. Écrire les nombresa, b, c, detesous forme exponentielle. Vérifier sur le graphique la cohérence des résultats.
EXERCICE 4 Calculs avec des formes exponentielles
Soitz= 4e−iπ3 etz′= 2eiπ6.
Effectuer les calculs suivant et mettre les résultats sous forme exponentielle.
1. zz′ 2. 1
z 3. z3 4. z z′
EXERCICE 5 Encore une configuration géométrique
Dans le plan complexe, on donne les pointsA(2),B(5),C(5 + 3i),D(2 + 3i),E
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2+3√23i etF
10+3√ 3 2 +32i
. 1. Justifier que le quadrilatèreABCDest un carré.
2. Quelle est la nature du triangleAEB? Du triangleBCF? Justifier.
3. Émettre une conjecture sur les pointsD, E et F et la justifier.
EXERCICE 6 Ensemble de points
Dans chaque cas, déterminer les ensembles de pointsM d’affixezvérifiant la condition.
1. |z−1|= 5.
2. |z−2 + 4i|= 2.
3. |z−3|=|z−4i|. 4. |z−3−i|=|z|. 5. z+z=|z|2
1. arg(z) = π
3 + 2kπ (k∈Z) 2. arg(z−3−2i) = π
4 + 2kπ (k∈Z) 3. arg
z−1 + i z+ 3−2i
= 0 + 2kπ (k∈Z) 4. arg
z−1 z−i
= π
2 + 2kπ (k∈Z)
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EXERCICE 7 Suite de nombres complexes
Pour tout entier natureln, on posezn=
√
3 3 −1
3i n
et on appelleAn le point du plan complexe d’affixezn. 1. Exprimer le module dezn et les arguments dezn en fonction den.
2. Montrer que le triangleOA0A3 est rectangle en O.
3. Pour quelles valeurs denle nombrezn est-il réel ? 4. ALGO :
(a) Que peut-on dire du module de zn lorsquentend vers +∞?
(b) Écrire un algorithme qui affiche le plus petit entier naturelntel que le pointAn appartienne au disque de centre O et de rayon 0,001.
(c) Programmer cet algorithme et donner le résultat.
EXERCICE 8 D’après BAC : Antilles Guyane 2013
On considère la suite (zn) à termes complexes définie parz0= 1 + i et, pour tout entier naturel n, par zn+1=zn+|zn|
3 .
Pour tout entier naturel n, on pose :zn =an+ ibn, oùan est la partie réelle de zn etbn est la partie imaginaire dezn. Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites (an) et (bn).
Partie A
1. Donnera0et b0.
2. Calculerz1, puis en déduire quea1=1 +√ 2
3 etb1=1 3. 3. On considère l’algorithme suivant :
Variables :AetB des nombres réels Ket N des nombres entiers Initialisation : Affecter àA la valeur 1
Affecter àB la valeur 1 Traitement :
Entrer la valeur de N PourK variant de 1 àN
Affecter àAla valeur A+√
A2+B2 3 Affecter àB la valeur B FinPour 3
Afficher A
(a) On exécute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10−4près).
K A B
1 2
(b) Pour un nombreN donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
Partie B
1. Pour tout entier natureln, exprimerzn+1 en fonction dean etbn.
En déduire l’expression dean+1 en fonction dean et bn, et l’expression debn+1 en fonction dean et bn.
2. Quelle est la nature de la suite (bn) ? En déduire l’expression de bn en fonction den, et déterminer la limite de (bn).
3. (a) On rappelle que pour tous nombres complexeszet z′ : |z+z′|6|z|+|z′| (inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier natureln,|zn+1|62|zn| 3 . (b) Pour tout entier natureln, on poseun=|zn|.
Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, un6
2 3
n√ 2.
En déduire que la suite (un) converge vers une limite que l’on déterminera.
(c) Montrer que, pour tout entier natureln,|an|6un. En déduire que la suite (an) converge vers une limite que l’on déterminera.
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