Déterminer les complexes z tels que les points P, Q et R, d’affixes respectives 1, z et z

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PanaMaths

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Novembre 2013

Déterminer les complexes z tels que les points P, Q et R, d’affixes respectives 1, z et z

³

, soient alignés.

Analyse

Comme P est d’affixe 1, on peut rapidement traiter le cas z=1. Ensuite, l’alignement peut être exprimé via la colinéarité de deux vecteurs.

Résolution

Pour z=1, les points P, Q et R ont même affixe. Ils sont confondus et donc alignés.

Supposons désormais z≠1. Il vient alors :

P, Q et R alignés ⇔PQJJJG et PRJJJG

colinéaires ^⇔

(

^{PQ, PR}^{JJJG JJJG}

)

⁼^k^π ^avec^k^∈^] ^⇔ ^z_z³₋⁻₁¹^∈^\

Or, ^z³^{− =}¹

(

^z⁻¹

) (

^z²^{+ +}^z ¹

)

. On a donc :

3

2 2

1 1

1

z z z z z

z

− ∈ ⇔ + + ∈ ⇔ + ∈

− \ \ \

En posant z= +x iy, on a z²=x²−y²+2ixy puis :

( )

2 2 2 2 2

2 2 1

z + =z x −y + +x ixy iy+ =x −y + +x iy x+

Ainsi, on a finalement :

( )

3 1 1

2 1 0 0 ou 2 1 0 0 ou

1 2

z y x y x y x

z

− ∈ ⇔ + = ⇔ = + = ⇔ = =−

− \

Pour y=0, on a z et z³ dans \. Les points P, Q et R appartiennent à l’axe des abscisses. Ils sont bien alignés.

On note que cette situation inclut le cas particulier correspondant à z=1.

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Pour 1

x= −2 , on a : 1 z= − +2 iy. Et donc :

2

2 1 1 2

2 4

z = − +⎛⎜⎝ iy⎞⎟⎠ = −y −iy. Puis :

3 2

3

2

2 2 2

2 3

1 1 1

2 2 2

1 1

4 2

1 1 1 1

2 4 4 2

1 3 3

8 2 4

z iy iy iy

y iy iy

y y i y y y

y i y y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − +⎜⎝ ⎟⎠ = − +⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝× − + ⎟⎠

⎛⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜⎝⎜⎝ − ⎟⎠− ⎟⎠× − +⎜⎝ ⎟⎠

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= −⎢⎣ ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎥⎦+ ⎢⎣ ⎜⎝ − ⎟⎠+ ⎥⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − +⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ − ⎟⎠

On a donc : 1 P 0

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠, 1

Q 2

y

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et

2

3

1 3

8 2

R 3

4 y y y

⎛− + ⎞

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

D’où :

3

PQ 2

y

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

JJJG et

2

3

1 3

8 2 1

PR 3

4 y y y

⎛− + − ⎞

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

JJJG

, soit

2 2

3 2

9 3 3 3

8 2 2 4

PR 3 3

4 4

y y

y y y y

⎛− + = − ⎛⎜ − ⎞⎟⎞

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎜ ⎟

⎜ − = ⎛ − ⎞ ⎟

⎜ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎟

⎝ ⎠

JJJG

.

Ainsi : 3 ²

PR PQ

4 y

⎛ ⎞

=⎜⎝ − ⎟⎠

JJJG JJJG

. Les vecteurs PQJJJG

et PRJJJG

sont bien colinéaires, les points P, Q et R sont bien alignés.

Résultat final

Les points P, Q et R du plan, d’affixes respectives 1, z et z² sont alignés si, et seulement si z est réel ou de la forme 1

2 iy

− + , avec y∈\.

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Complément

A titre de complément, nous fournissons une représentation graphique (courbe rouge) de l’ensemble des points

2

3

1 3

8 2

R 3

4 t t t

⎛− + ⎞

⎜ ⎟

⎜ − ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

. Une telle courbé est dite « paramétrée » (le paramètre

étant, avec nos notations, le réel « t », ordonnée du point Q). Pour une valeur de t, nous avons fait apparaître le point R et le point

1

Q 2

t

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

ainsi que la droite

( )

QR qui passe par le point P.