Terminale S
Devoir commun n˚3
2018-19NOM :
EXERCICE 1 (4 points)
On considère les deux nombres complexes : z
1= 3 − 2i
1 + i et z
2= 3 + 2i 1 − i 1. Que peut-on dire des nombres complexes z
1et z
2? Justifier.
2. Déterminer l’écriture algébrique du nombre z
1. 3. En déduire l’expression de z
1+ z
2et z
1− z
2.
• • •
EXERCICE 2 (4 points)
1. Montrer que z
2+ 1 = (z − i)(z + i) pour tout z ∈ C . 2. On pose, pour tout z ∈ C : P (z) = (z
2− 1)(z
2+ 1).
(a) Factoriser P(z).
(b) En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0.
(c) Développer P (z) et déduire de la question précédente les solutions dans C de l’équation :
2z + 1
z − 1
4= 1
• • •
EXERCICE 3 (5 points)
On a tracé ci-contre la courbe C
freprésentant la fonction f définie sur [0 ; 1] par f (x) = (x − 1)
4ainsi que le segment [P R] reliant les points P(0 ; 1) et R(1 ; 0).
L’objectif de cet exercice est de chercher s’il existe une tangente à C
fparallèle à la droite (P R).
1. Etudier les variations de la fonction g définie sur [0 ;1] par g(x) = 4(x − 1)
3.
2. En déduire que l’équation g(x) = − 1 admet une unique solution α dans [0 ; 1] et donner un encadrement
d’amplitude 0, 1 de α.
3. Calculer f
′(a) pour tout réel a de [0 ; 1].
4. Que peut-on peut en déduire pour le problème posé ? Justifier.
O 1
1
R P
Cf
• • •
Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 3
Terminale S
Devoir commun n˚3
2018-19EXERCICE 4 (7 points)
Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = 1 + cos(x) + 1
2 cos(2x).
On note C
fsa courbe représentative.
1. (a) Calculer f ( − x) et f (x + 2π).
(b) Montrer que l’on peut se contenter d’étudier f sur [0 ; π].
2. (a) Déterminer la fonction dérivée de la fonction f . (b) On rappelle la relation : sin(2a) = 2 sin(a) cos(a).
Montrer que, pour tout x ∈ [0 ; π] : f
′(x) = − sin(x) (1 + 2 cos(x)).
3. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; π].
4. Compléter le tableau de valeur suivant :
x 0 π
3
π 2
2π
3 π 4π
3
3π 2
5π 3 f(x)
5. Tracer,dans le repère ci-dessous, C
fsur [0 ; 2π] ainsi que ses tangentes horizontales.
π 1
2 π O
• • •
Lycée Bertran de Born - Périgueux 2 sur 3
Terminale S
Devoir commun n˚3
2018-19EXERCICE 5 (10 points)
Dans le repère ci-dessous, le point P (x, y) appartient au quart de cercle de centre O, de rayon 4 et d’extrémités A et B.
On construit le rectangle ON P M où M appartient à [OA] et N à [OB].
Il est précisé que tout point du quart de cercle admet des coordonnées positives (x, y) vérifiant l’équation x
2+ y
2= 4
2.
1
P
1 M
N
O
bcbc
bc
L’algorithme ci-dessous permet de calculer y à partir des valeurs de x choisies entre 0 et 4 avec un pas de 0,5. Les affichages sont reportées dans le tableau ci-contre.
Pour x allant de 0 à 4 avec un pas de 0,5 faire
y ←− . . . . Afficher x et y Fin Pour
Tableau des valeurs de x et celles y arrondies à 10
−2près.
x y
0 4
0.5 3.97 1 3.87 1.5 3.71 2 3.46 2.5 3.12 3 2.65 3.5 1.94
4 0
Partie A : Algorithme et conjecture.
1. Compléter, sur votre copie, l’instruction de l’algorithme pour qu’il permette le calcul et l’affichage des valeurs de y.
2. Donner un intervalle de longueur 1 qui semble contenir la valeur de x telle que le rectangle ON P M a une aire maximale.
3. En utilisant votre calculatrice, proposer un intervalle « 10 fois plus petit. »
Quelle conjecture peut-on émettre sur la position du point P pour laquelle l’aire est maximale ? Partie B : On démontre la conjecture.
1. Montrer que l’aire de ON P M est a(x) = x √
16 − x
2. Préciser l’intervalle de définition I de la fonction a.
2. Justifier que a est dérivable sur I \ { 4 } et prouver que,
pour tout x de I \ { 4 } , a
′(x) = 16 − 2x
2√ 16 − x
23. En déduire les variations de la fonction a sur I.
4. Démontrer la conjecture émise dans la partie A sur la position particulière du point P .
• • •
Lycée Bertran de Born - Périgueux 3 sur 3
