L'application des nombres complexes au calcul des profils d'aile

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L’application des nombres complexes au calcul des profils d’aile

Bruno Chanetz

To cite this version:

Bruno Chanetz. L’application des nombres complexes au calcul des profils d’aile. Comptes Rendus

Mécanique, Elsevier, 2019, 347 (7), pp.544-549. �10.1016/j.crme.2019.06.005�. �hal-02874049�

Bruno Chanetz

Onera,chemindelaHunière,BP80100,91123Palaiseaucedex,France

i nf o a rt i c l e ré s u m é

Historiquedel’article : Reçule23avril2019 Acceptéle23avril2019

DisponiblesurInternetle3juillet2019

Mots-clés : Aérodynamique Soufflerie

Méthodedessingularités Cuverhéoélectrique ÉquationsdeNavier–Stokes Paradoxeded’Alembert

Silesujetcentralenestbienlecalculthéoriquedelaformed’uneailed’avionaumoyen desnombrescomplexes,domainedanslequels’estillustréAbrahamdeMoivre,cetarticle présentequatremoyenstrèsdifférentsquipermettentdeparveniràétablircesrésultats.

Aprèsunbrefrappeldelathéorieduvol,unepremièrepartieest consacréeauxtravaux expérimentauxdeGustave Eiffel,puis, enpoursuivant l’ordre chronologique,ontraitela méthodedessingularitésdueàNicolaïJoukovski,puisunprocédéanalogiquedéveloppé parJoseph PérèsetLucienMalavard, etenfin latechniquecontemporaine derésolution numérique des équations de Navier–Stokes. Si le recours à l’expérience en soufflerie subsistede nos jours, lesméthodes théoriques etanalogiques,qui onteu leursheures degloireaumilieuduxx^esiècle,sontaujourd’huiabandonnées,lapuissancedecalculdes ordinateursles rendantdésormais désuètes.Pour autant, ellesconstituent desmanières trèsélégantesderésoudreleproblème.

©^{2019Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Cetarticleestpubliéen} OpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

1. Lathéorieduvol :étatdel’artausiècled’AbrahamdeMoivre

Évoquer lecalcul desailes d’aviondans lecadre d’un hommagerendu à Abrahamde Moivre tientde la gageure, car jamais cederniernes’intéressaauproblèmede lasustentation.Pourtant,certainsde sescontemporainscontribuèrentde manièredécisiveàl’élaborationdelathéorieduvol.SonamiNewtonestàl’origined’uneformule,encoreenusagedenos jours,donnantlapressionaupointd’arrêtd’unvéhiculehypersonique.DanielBernoulli,filsdeJean,unautreamideMoivre, avait énoncéquepression etvitessevariaientensensinverse,sanstoutefois trouverlaformuleliant cesdeux grandeurs.

Leibniz,qui honoraitégalementdeMoivredesonamitié,énonçalethéorèmedelaforcevive–oudel’énergiecinétique– quipermitàEulerd’établirl’équationdifférentielleàlaquelleillaissasonnom :

dp+ρVdV =⁰

où pestlapression,V lavitesseet ρlamassevolumiquedufluide.

Laversionintégréesurunelignedecourantdel’équationd’EulerestlacélèbreformuledeBernoulli,quirendhommage àsonintuition :

p+1/2ρV²=C ste

Adressee-mail :chanetz@onera.fr.

https://doi.org/10.1016/j.crme.2019.06.005

1631-0721/©^{2019Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.CetarticleestpubliéenOpenAccesssouslicenceCCBY-NC-ND} (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

Fig. 1.Écoulement autour d’un barreau cylindrique.

Quantaucalculdesprofilsd’aileparl’utilisation delathéoriedesnombres complexes,ellesupposequel’on connaissela solution de l’équation de Laplace. L’élégancede cette résolution réside dans l’introduction d’un potentiel desvitesses ϕ, dontdérive lavitesse,etd’unefonctiondecourant .Cesdeuxfonctionsdoiventavoirleurlaplaciennul,c’est-à-direque lasommede leurs dérivéessecondes parrapport aux variablesd’espace xet y est nulle.Pour lafonctionde courant en coordonnéescartésiennes,l’équationdeLaplaces’exprimepar :

∂²

∂x² +∂²

∂y² =⁰

CetteéquationfutrésolueparJeanLeRondd’Alembertàlafinduxviii^esiècle,enbidimensionneldanslecasd’uncylindre.

Laconditionauxlimitesimposéeàlaparoiducylindreestquelevecteurvitesseesttangentàlaparoi,doncperpendiculaire à celle-ci, maisnon nul.C’estl’hypothèse dufluideparfait. Dansla réalité,lefluideétantvisqueux, unecouchelimite se développeaucontactdelaparoi,aboutissantàunevitessenulleaucontactdecettedernière.

Le faitde négligerles termesvisqueux conduisitd’Alembert à trouveruneforce de traînéenullepour unbarreau cy- lindrique,encontradictionévidenteavec laréalitéqu’ilobservait, d’où leparadoxequ’il énonce,resté célèbre.Lebarreau cylindrique,delamêmemanièrequelasphère,n’étantpasuncorpsportant,larésolutionmathématiqueaboutissaitlogi- quementàuneportancenulle,caractériséesurleschémadelaFig.1aparunesymétriehaut/basparrapport audiamètre AB.Enrevanche,danslaréalité,lecorpsestle sièged’unetraînée,cedontlecalculnerendaitpascompte,leslignes de courantenavalducorpsétantsymétriquesauxlignesamontparrapportàl’axeverticalCCdelaFig.1a.

Onen restalà à l’époque.Ce nefutqu’au xix^e siècleque laprise en comptedes effets visqueux permit d’établirles équationsdeNavier–Stokes,quirégissentlemouvementdufluideréelvisqueux,lequelsecaractérise,danslecasdubarreau cylindrique,parl’existenced’unecouchelimiteàlaparoiducorpsetd’unsillageenaval,rompantlasymétriegauche/droite, commeilestreprésentésurlaFig.1b.

2. Expérience :lesessaisensouffleriedeGustaveEiffel(1909)

AucoursdelapremièrepartieduXIX^esiècle,GeorgesCayleyétablitlathéoriedescorpsportants,énonçantqu’unprofil cambréestportant,mêmeàincidencenulle.En1852,lePrussienGustavMagnuss’intéressaàl’effetdegirationdesboulet de canon,phénomènequ’onrencontreaussi lorsqueles ballesou ballonsont del’ « effet ». Ilétablit ainsique larotation d’unbouletinfléchissaitlatrajectoirebalistique,avecpourconséquenceleratagede lacible.La forcedeMagnus(oueffet Magnus)n’estautrequ’uneforcedeportanceoudedéportance,selonlesensdegiration.Toutétaitdèslorsenplace–ou presque–auniveaudesélémentsthéoriquespourpermettred’appréhenderlevol.LecapitaineFerdinandFerberqui,deux ansaprèslesfrèresWright,réussiten1905lepremierenvold’unavionmotorisé,avaitjolimenténoncéquelaportanceest unefleurquinaîtdelavitesse.

Il fallut en effet attendrela charnière entre les xix^e et xx^e siècles, quand l’invention du moteur thermique mit à la dispositiondespionniersdel’airunepropulsionsuffisante,pourqueceux-ciélaborentlesprofilscambrésdontilsallaient équiperleursaéronefs.

Jusqu’auxtravaux de GustaveEiffel,ces inventeurs nesedoutaient pasque l’aileétaitplus aspiréepar l’airau-dessus (extrados)queportéeparl’airau-dessous(intrados).En1909,GustaveEiffelconçutunesoufflerieauChamp-de-Mars,dans laquelleiltestadesprofilsd’ailesàdeuxoutroisbossesenmesurantlarépartitiondescoefficientsdepressionsurlespar- tiesintradosetextradosdel’aile(voirFig.2) :«Cetteétudeafaitressortirl’importanceprépondérantedesdépressionsàl’arrière etamontréquel’ailedel’aéroplaneestdeuxfoisplusaspiréeparl’airquis’écoulesursafacedorsalequ’ellen’estpousséeparl’air quis’écoulesursafaceventrale.AvantquecefaitnefûtmisenévidenceaulaboratoireduChamp-de-Mars,lesconstructeursd’avions

Fig. 2.Mesures de Gustave Eiffel sur des profils à deux et trois bosses.

netenaientpascomptedesdépressionssurlafacedorsalepourl’attachedestoilesdesailes,etcelaadûamenerdescatastrophespar déchirureinexpliquéesdecettetoilependantlevol.Onyaremédiédepuislapublicationdemestravaux. » [1].

3. Théorie :laméthodedecalculdessingularitésdueàNikolaïJoukovski(1913)

Concomitamment auxessais d’Eiffel,ErichTrefftz publieen1913unenote surlaconstruction graphiquede Joukovski basée sur uneétude d’OttoBlumenthal. Latransformation de Joukovskyestunetransformation conformedéfiniedans le plancomplexepar :

z→ ¹ 2

z+^b2/z

Cettetransformationconformetransposelecercleenunprofiletlarésolutiondel’écoulementautourduprofilestramenée àcelledel’écoulementautourd’uncylindrecirculaire(voirFig.3).

Cette astuceest géniale,à conditionque l’on sacherésoudrel’écoulement autourdu cercle.Ainsi, laméthodedessin- gularités reposetoutd’abordsurlarésolution de l’équationdeLaplace déjàévoquée.Nous avonsvuquecetterésolution mathématiquementjuste,maisavecdeshypothèsesnonréalistes,estinsuffisanteàrendrecomptedelaréalité.Néanmoins, elle sertde cadreà l’élaborationd’uneremarquable méthodede résolutionmathématique,dite méthode dessingularités.

Elletiresonnomdessingularitésmathématiquesquisontadditionnéesaucasdebasedel’écoulementcalculépard’Alem- bertafinderendrecomptemathématiquementdelaréalitédesécoulementsfluides.

Fig. 3.La transformation conforme permettant de passer du cercle au profil d’aile.

L’équationdeLaplaceétantuneéquationlinéaire,lacombinaisondensolutionslinéairementindépendantesseraégale- mentunesolutiondel’équation.Ainsi,lasuperpositiondesolutions élémentairespermetde construiredessolutionsplus complexes.Parmilessolutionsélémentairesdel’équationdeLaplace,quelques-unessonttrèsintéressantes :

– l’écoulementdevitesseuniformeV_∞;

– lasource,caractériséepardesvitessesradialesdirigéesversl’extérieuretinversementproportionnellesàladistanceau pointsource ;

– lepuits, caractérisé par des vitessesradiales dirigéesversle centreet inversementproportionnellesà la distanceau puits ;

– ledoublet,combinaisond’unesourceetd’unpuitsinfinimentrapprochés ;

– letourbillon,caractérisé par desvitessesradiales nulleset desvitessestangentiellesdontle moduleestinversement proportionnelàladistanceaucentre.

Ainsi,ilappertquelasuperpositiond’unécoulementuniforme,d’undoubletetd’untourbillonpermetde créerunécoule- mentportant autourd’un cercleendétruisantlasymétriehaut/bas(voirFig.4).La présenced’un tourbilloncréeuneffet derotationsimilaireàceluiobservéparMagnusetpermetdeconféreruneportanceaubarreaucylindrique,représentéen coupepar uncercle. Lecalculpermetd’exprimerlecoefficient depression enchaque pointdu cercleetd’endéduire par intégrationlecoefficientdeportance.

Par intégration,on obtient aussi le coefficient de trainée, qui est encore nul du fait de lasymétrie gauche/droite.En revanche,onobtientuncoefficientdeportanceCZ nonnul.

Grâceàcesubterfuge, Joukovskiputcalculerdesprofilsd’aileportants,qui équipèrentlesavionsrusses durantlaPre- mière Guerre mondiale. Cependant, l’impasse faite sur le calcul de latraînée eut des répercussions néfastes, ces profils ayantuneforte traînéequirendaitnécessaireuneimportantemotorisation,sibien qu’ilsfurentabandonnés dèslafinde laguerre.Ils’agissaitnéanmoinsd’uneéléganterésolution,toujoursenseignée[2],carricheauniveaudelacompréhension delathéorieduvol.

4. Analogie :résolutionaumoyendelacuverhéoélectriquedeLucienMalavard(1910–1990)etJosephPérès(1915–1998)

Cetteméthodeanalogique[3] reposesurl’identitédeséquationsquirégissent :

– ladistributiondupotentielélectriquedansunmilieuconducteur(bassinélectrique[voirFig.5]) ; – l’écoulementdesfluidesparfaitsincompressiblesirrotationnels.

Suivantlesconditionsauxlimitesimposéesauxfrontièresdudomaine,onpourraassimilerlepotentielélectrique : – soitaupotentieldesvitesses ϕ,

– soitàlafonctiondecourant.

5. Calcul :résolutionnumériquepardiscrétisationdeséquationsdeNavier–Stokes(depuis1980)

Audébutduxix^esiècle,ilappartintàAdhémarBarrédeSaint-VenantetHenriNavier,aveclacontributionultérieurede GeorgeStokes, de proposercequi deviendront lescélèbres équationsde Navier–Stokesafinde tenir comptedu caractère visqueux de l’air. Ces équations, qui contiennent toutela richesse du fluide de base qu’est l’air, sont deséquations aux dérivéespartielles,auxquellesonn’atoujoursn’apastrouvédesolutionthéorique.

En1903,LudwigPrandtlprésenteaucongrèsdemathématiquesd’Heidelberglathéoriedelacouchelimite.Ils’agitd’une simplificationdeséquationsdeNavier–Stokesdanslazonedeprocheparoioùsedéveloppeunecoucheoùsontconcentrés

Fig. 4.Superposition de solutions élémentaires (écoulement uniforme, doublet et tourbillon) de l’équation de Laplace.

Fig. 5.Le calculateur d’aile rhéoélectrique de l’Onera.

les effets visqueux, les gradients de températuredans cette zone étantresponsables du flux thermique à la paroi etles gradients devitessedufrottement pariétal.Danslesdécennies suivantessefontjourdesméthodesde calculséparantles problèmesavecrésolutiondeséquationsdePrandtlàlaparoiet,danslechampextérieuràlacouchelimite,deséquations d’Euler,quisontleséquationsdeNavier–Stokessanslestermesvisqueux.Cesméthodesdecouplagedeviendrontcaduques dèslorsquelapuissancedesordinateurspermettralarésolutiondeséquationscomplètes.

Mais c’est seulement dans les années 1970–1980 que s’impose cette résolution numérique des équationsde Navier–

Stokes.Laforteprogressiondesordinateurs,entermesdestockagemémoirecommederéductiondestempsdecalcul,rend alorspossible larésolutiondeséquationsde Navier–Stokesens’affranchissant du découpageantérieurendeuxzones[4].

Fig. 6.Répartition du nombre de Mach autour d’un profil transsonique obtenue par calcul Navier–Stokes.

LaFig.6montrelarépartitiondunombredeMachautourd’unprofilentranssoniquemettantenévidencel’ondede choc seformantàl’extrados.

6. Conclusion

Cepanoramadesdifférentesméthodesdecalculdesprofilsd’aileapermisd’éclairerlecheminementdelarecherchede- puisunecentained’annéesdansundomainequiafortementévolué.LesexpériencesdeGustaveEiffelontpermisd’apporter lapreuvedel’aspirationdel’aileparladépressionàl’extradosdel’aile,dépressionconsécutiveàl’accélérationdelavitesse surcetextrados,elle-mêmedueàlaconfigurationd’ailecambrée.Larésolutionparlaméthodedessingularités,surlaquelle aprincipalementporténotrepropos,esttrèsbienmenéeetdidactique.Ellemontretoutl’intérêtdesmathématiquespour larésolutiondeproblèmesphysiques.Laméthodeanalogiquemetenvaleurl’astucedesphysiciensquil’ontconçue.Elleest égalementun hommagerenduauxmathématiques, puisqu’ellereposesurune identitéd’équationsentredeux problèmes physiquesdistincts.Enfin,larésolutionnumériquedeséquationsdeNavier–Stokesestlasolutionquiprévaudrajusqu’àce que ceséquationssoientrésoluesthéoriquement. L’institutde mathématiquesClay,fondé enseptembre1998par Landon Clay,aproposéenl’an2000septproblèmesmathématiques,ditsdumillénaire,etapromisunmilliondedollarsàquiconque enrésoudraitun.L’un de cesproblèmes, laconjecturede Poincaré,a déjà étérésolupar un mathématicienrusse Grigori Perelman.Parmilesproblèmesrestantàrésoudre,leséquationsdeNavier–Stokes.Ilestpermisderêver. . .

Références

[1]B.Chanetz,M.Peter,Eiffel,pioneerofaerodynamics,Int.J.Eng.Syst.Model.Simul.5 (1–3)(2013)3–7.

[2] J. Délery, Traité d’aérodynamique théorique, vol. 1, Éditions Lavoisier, Paris, 2008, https://www.lavoisier.fr/livre/physique/traite-d-aerodynamique- compressible-volume-1/delery/descriptif-9782746220027.

[3] P.Marty,LeStrand,unsystèmedetransmissionanalogiquededonnéesenavancesursontemps,in:Leshistoiresdel’Histoire,Associationaéronautique etastronautiquedeFrance,Paris,2007,https://www.3af.fr/sites/default/files/letttre_3af_n_8_2007.pdf.

[4] B.Chanetz,J.Délery,J.-P.Veuillot,Aérodynamique,EncyclopaediaUniversalis,http://www.universalis-edu.com/encyclopedie/aerodynamique/.