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La résolution en calcul propositionnel

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

La résolution en calcul propositionnel

Résolution

Méthode par réfutation :

|=Assi As'obtient à partir de∆ par résolution

|=A ssi∆∪ {¬A} insatisfaisable i∆∪ {¬A} est réfutable

2

Forme Normale Conjonctive (DNC) Dénition :

Un littéral est une formule de la formep ou¬p, où pest une lettre propositionnelle quelconque.

Uneclause est une formule de la forme l1∨. . .∨ln, n≥0, où chaqueli est un littéral. La clause vide(n= 0) s'écrit. Une formule est enforme normal conjonctive ssi elle est de la

formeD1∧. . .∧Dn,n≥0, où chaque Di est une clause.

3

Forme Normale Disjonctive (FND) Dénition :

Une conjonction élémentaireest une formule de la forme l1∧. . .∧ln,n≥0, où chaqueli est un littéral.La conjonction élémentaire vide (n= 0) s'écrit >.

Une formule est en forme normal disjonctive ssi elle est de la forme C1∨. . .∨Cn, n≥0, où chaque Ci est une conjonction élémentaire.

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(2)

Existence de la FND et de la FNC Théorème : SoitA une formule.

Il existe une formuleA1 en FND telle queA1≡A. Il existe une formuleA2 en FNC telle que A2≡A.

Lemme :Soit ∆ ={A1, . . . , An} etF N C ={E1, . . . , En} où chaque Ei est une FNC de Ai. Pour chaqueEi de la forme Di1∧. . .∧Dik on construit CEi ={Di1, . . . , Dik}. Soit C=S1≤i≤nCEi. Alors∆ est satisfaisable ssi C est satisfaisable.

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Formes normales et tables de vérité

p q r A

V V V F V V F V V F V V V F F F F V V V F V F F F F V F F F F V

A≡ (p∧q∧ ¬r)∨(p∧ ¬q∧r)∨

(¬p∧q∧r)∨(¬p∧ ¬q∧ ¬r)

¬A≡ (p∧q∧r)∨(p∧ ¬q∧ ¬r)∨

(¬p∧q∧ ¬r)∨(¬p∧ ¬q∧r) A≡ (¬p∨ ¬q∨ ¬r)∧(¬p∨q∨r)∧

(p∨ ¬q∨r)∧(p∨q∨ ¬r)

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Règles de la résolution

Axiomes :aucun Règles d'inférence :

(D etC sont deux clauses)

D∨p C∨ ¬p

D∨C (coupure) p ¬p

(cas particulier)

D∨p∨p

D∨p (f actorisation)

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Dérivation par résolution

Exemple :

p∨r∨s r∨ ¬s p∨r∨r

p∨r

¬r

p

Notation : Une dérivation de la clause pà partir de l'ensemble {p∨r∨s, r∨ ¬s,¬r} s'écrit

{p∨r∨s, r∨ ¬s,¬r} `Rp

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(3)

Réfutation

Dénition :Un ensemble de clauses ∆ est réfutable ssi∆`R. Exemple :

p∨r∨s r∨ ¬s p∨r∨r

p∨r

¬r

p

¬p

{p∨r∨s, r∨ ¬s,¬r,¬p} `R

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Propriétés de la résolution

Théorème : La résolution est correcte, i.e., si ∆`RA, alors

|=Aet si ∆`R, alors∆est insatisfaisable.

Théorème : La résolution est complète, i.e., si∆|=A, alors

`RAet si ∆est insatisfaisable, alors ∆`R .

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