(1)Résolution Forme prénexe Skolemisation Forme clausale Règles de résolution Correction et complétude 1 Quelques équivalences logiques (rappel) ∀x

Résolution Forme prénexe Skolemisation Forme clausale Règles de résolution Correction et complétude

1

Quelques équivalences logiques (rappel)

∀x. A ≡ ¬∃x.¬A

¬∀x. A ≡ ∃x.¬A

∃x. A ≡ ¬∀x.¬A

¬∃x. A ≡ ∀x.¬A

∀x. (A∧B) ≡ ∀x. A∧ ∀x. B

∃x. (A∨B) ≡ ∃x. A∨ ∃x. B

∃x. (A→B) ≡ ∀x. A→ ∃x. B

∀x. ∀y. A ≡ ∀y.∀x. A

∃x. ∃y. A ≡ ∃y.∃x. A

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D'autres exemples d'équivalence lorsque x /∈V I(A)

∀x. A ≡ ∃x. A ≡A

∀x.(A∧B) ≡ A∧ ∀x. B

∃x.(A∧B) ≡ A∧ ∃x. B

∀x.(A∨B) ≡ A∨ ∀x. B

∃x.(A∨B) ≡ A∨ ∃x. B

∃x.(A→B) ≡ A→ ∃x. B

∀x.(A→B) ≡ A→ ∀x. B

∃x.(B→A) ≡ ∀x. B→A

∀x.(B→A) ≡ ∃x. B→A

Forme prénexe

Dénition : Une formuleG est dite enforme prénexe ssi elle est de la forme Q₁x₁. . . Q_nx_n A, où chaqueQ_i est un quanticateur

∀ ou ∃ etA ne contient pas de quanticateur.

Théorème : Pour toute formule G il existe une formeG⁰ en forme prénexe t.q G≡G⁰.

Skolemisation partielle

Dénition :Soit G une formule prénexe de la forme

∀x₁. . .∀x_n∃x_n+1Q_n+2x_n+2Q_n+ix_n+i A. Soit f un nouveau symbole de fonctionn-aire. La formule

∀x1. . .∀xnQn+2xn+2Qn+ixn+i A{xn+1/f(x1, . . . , xn)} est la skolemisation partiellede G.

Lemme :Soit Gune formule prénexe et soit G⁰ sa skolemisation partielle. AlorsG est satisfaisable ssi G⁰ est satisfaisable.

5

Forme de Skolem

Dénition : SoitG une formule prénexe ayant nquanticateurs

∃. Laforme de Skolem de G est la formule obtenue parn applications successives de la skolemisation partielle.

Théorème : Soit G⁰ la forme de Skolem de la formuleG. Alors Si G contient n quanticateurs∃,G⁰ contient n nouveau

symboles de fonction

G⁰ ne contient pas de quanticateurs∃. G est satisfaisable ssi G⁰ est satisfaisable.

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Forme clausale Dénition :

Un littéral est une formule de la former(t₁, . . . , t_n)ou

¬r(t1, . . . , tn).

Uneclause est une formule de la forme L1∨. . .∨Lq où chaque Li est un littéral. Laclause vide s'écrit⊥.

Théorème : Pour toute formuleG il existe un ensemble de clausesC_G t.q

V I(C₁)∩V I(C₂) =∅ si C₁, C₂∈ C_G etC₁6=C₂ G est satisfaisable ssiCG est satisfaisable.

Résolution

Axiomes : aucun Règles d'inférence :

D∨r(s1, . . . , sn) C ∨ ¬r(t1, . . . , tn)

σ(D∨C) (coupure)

où σ est l'unicateur principal du problème{s1 .

=t1, . . . , sn .

=tn}

D∨L∨L⁰

σ(D∨L) (f actorisation)

où

L=r(s₁, . . . , s_n) (resp.L=¬r(s₁, . . . , s_n)) et L⁰=r(t₁, . . . , t_n)(resp. L⁰=¬r(t₁, . . . , t_n))

σ est l'unicateur principal du problème{s₁=. t₁, . . . , s_n =. t_n}

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Rappel : Le cas particulier de la règle coupure lorsque r(s1, . . . , sn)etr(t1, . . . , tn)sont uniables :

r(s₁, . . . , s_n) ¬r(t₁, . . . , t_n)

⊥

Notation :Comme dans le cas propositionnel, on écrit ∆`RF si F est dérivée à partir de l'ensemble ∆ par résolution et∆`R ⊥ si

⊥ est dérivée à partir de l'ensemble ∆ par résolution.

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Propriétés de la résolution

Théorème : La résolution est correcte, i.e., si∆`_R F, alors

∆|=F et si ∆`_R⊥, alors∆ est insatisfaisable.

Théorème : La résolution est complète, i.e., si ∆|=F, alors

∆`R F et si ∆ est insatisfaisable, alors∆`R ⊥.

Vers la complétude de la résolution

Soit Σ une signature contenant au moins une constante.

Dénition :

L'univers d'Herbrand de Σest l'ensemble de termes clos sur Σ. La base d'Herbrand est l'enseble d'atomes clos surΣ.

Une interprétation de HerbranddeΣ est une interprétation t.q.

Son domaine est l'univers d'Herbrand Pour chaque f ∈Σ_F d'arité n,

I(f)(t1, . . . , tn) =f(t1, . . . , tn)

Conséquence : Pour chaquep∈Σ_P d'arité n, on peut identier I(p)à un sous-ensemble Sp de la base de Herbrand t.q.

I(p)(t1, . . . , tn) =Vssi p(t1, . . . , tn)∈ Sp.

Lemmes pour le Théorème de Herbrand

Lemme :Soient x₁, . . . , x_n les variables libres d'un termet. Soit I une interprétation etσ une valuation dans I. Soit la substitution τ ={x₁/t₁, . . . , x_n/t_n} et soient d₁. . . d_n t.q. [t_i]_I,σ =d_i. Alors [t]_{I,σ[x1:=d1]...[xn:=dn]}= [τ(t)]_I,σ.

Lemme :Soient x1, . . . , xn les variables libres d'une formuleG. SoitI une interprétation et σ une valuation dans I. Soit la substitution τ ={x1/t1, . . . , xn/tn} et soient d1. . . dn t.q.

[t_i]_I,σ =d_i. Alors[G]_{I,σ[x1:=d1]...[xn:=dn]}= [τ(G)]_I,σ.

Exercice : SoitG=r(x1, x2) etτ ={x1/a, x2/s(a)}. Soit I(r)(n, m) =V ssin < m,I(a) = 0 etI(s)(n) =n+ 1. Vérier le résultat précédent.

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Théorème de Herbrand

Théorème : Un ensemble de clauses C est satisfaisable ssi il existe une interprétation I de Herbrand t.q. I satisfait C.

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Arbres sémantiques complets

Dénition :Soit B0, B1, B2, . . . une énumération de tous les atomes clos d'une signatureΣ. L'arbre sémantique completassocié à cette énumération est un arbre (binaire et équilibré) t.q.

la racine estB₀

chaque n÷udBi possède un arc gauche Vet un arc droite F tous les successeurs deB_i sont étiquetés par B_i+1

Exercice :

1. Construir un arbre sémantique completA₁ pour l'énumération nie q(a), q(b), r(a), r(b).

2. Construir un arbre sémantique completA₂ pour l'énumération innie q(a), q(b), q(s(a)), q(s(b)), q(s(s(a))), q(s(s(b))), . . ..

N÷ud d'échec pour un ensemble de clauses

Dénition : SoitA un arbre sémantique complet et soit C un ensemble de clauses. Un n÷ud n deA est dit n÷ud d'échec pour C ssi le segment de la branche qui va de la racine deA jusqu'àn sut à falsier au moins une instance close d'une clause de C et si aucun prédécesseur de n n'est un n÷ud d'échec deA.

Exercice : Identier dans les arbresA₁ etA₂ au moins un n÷ud d'échec pour l'ensemble de clauses {¬r(x)∨q(x), q(a), r(a)}. Exercice : Si ⊥ ∈ C, qu'est-ce qu'on peut dire par rapport aux n÷uds d'échec pour C?

Arbres sémantiques partiels

Dénition :Soit Aun arbre sémantique complet et soit C un ensemble de clauses. Un arbre sémantique partielleassocié àC est un arbre obtenu à partir de Aen éliminant les sous-arbres issus des n÷uds d'échec.

Dénition :Un arbre sémantique partielle Aest clos s'il est ni et si toute feuille de Aest un n÷ud d'échec.

Exercice : Construire un arbre sémantique partielle clos associé à C ={¬r(x)∨q(s(x)), r(a),¬q(s(a))}.

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Corollaire du théorème de Herbrand

Théorème : Soit C un ensemble de clauses. Aucune

interprétation de Herbrand ne satisfait C ssi il existe un arbre sémantique partielle associé à C qui est clos.

Corollaire : Un ensemble de clausesC est insatisfaisable ssi il existe un arbre sémantique partielle associé à C qui est clos.

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Complétude de la résolution

Lemme :Soient C₁ etC₂ deux clauses. Soient C₁⁰ etC₂⁰ deux instances de C₁ etC₂ respectivement. Soit C_res⁰ la clause obtenue par appliquation d'un pas de résolution (coupure ou factorisation) à C₁⁰ etC₂⁰. Alors il existe une clause C_res t.q.

C_res⁰ est une instance deCres

Cres est obtenue par résolution à partir de C1 etC2.

Théorème : La résolution est complète, i.e., si ∆|=G, alors

∆`R G et si∆ est insatisfaisable, alors∆`R ⊥.