(a) micro´ etats : points dans l’espace des phases (~ q 1 , . . . , ~ q N , ~ p 1 . . . , ~ p N ) Z = 1

L3 et Magist` ere de physique fondamentale Universit´ e Paris-Sud Examen de Physique statistique – 2` eme session – corrig´ e

1 Questions de cours : le gaz parfait

1. Thermodynamique

(a) micro´ etats : points dans l’espace des phases (~ q 1 , . . . , ~ q N , ~ p 1 . . . , ~ p N ) Z = 1

N ! Z

· · ·

Z d~ q 1 · · · d~ q N d~ p 1 · · · d~ p N

h ^3N e ^{−βH(~ q}

^{,...,~ p}

⁾ (1) (b) Factorisation de Z . λ T = h/ √

2πmk B T (c) F = −k _B T ln Z = −N k _B T n

ln

V N λ

+ 1 o

. E ^c = − _∂β ^∂ ln Z = ³ ₂ N k _B T . (d) S ^c = −k _B P

` P <sub>`</sub> ln P _` = (E ^c − F )/T = N k _B n ln

V N λ

+ ⁵ ₂ o

. Validit´ e : nλ ³ _T 1 (haute temp´ erature, basse densit´ e).

2. Distribution des vitesses (a) w(~ p) = e ^{−β~ p}

^/2m

( √

2πmk B T ) ³ (b) σ = p

k B T /m (c) ¯ v =

q 3k

T

m par l’int´ egrale puis pas h ¹ ₂ mv ² i = ³ ₂ k _B T

2 Refroidissement d’un gaz par ´ evaporation

1. Changement de variable (v _x , v _y , v _z ) → (v ⊥ , θ, v _z ) donne p(v _x , v _y , v _z )dv _x dv _y dv _z = ˜ p(v ⊥ , θ, v _z )dθ × v _⊥ dv _⊥ dv _z (´ el´ ement de volume en cylindrique). On int` egre sur l’angle, il vient f (v _⊥ ) = ^v _σ

e ^−v

^/2σ

. 2. Normalisation en posant s = v _⊥ ² /2σ ² on se ram` ene au calcul d’une int´ egrale d’exponentielle.

3. E ^c _i = ³ ₂ N _i k _B T _i 4. Sch´ ema

5. Condition d’´ evaporation v ⊥ > v 0 = p

2ε 0 /m et N _e = N _i

Z ∞ v

dv ⊥ f (v ⊥ ) Z ∞

−∞

dv _z g(v _z ) = N _i e ^−ε

^/k

^T

. (2)

6. Interpr´ etation des diff´ erents termes.

7. E ^c _e = N _e ³ ₂ k _B T _i +ε ₀

. E ^c _e /N _e > ³ ₂ k _B T _i car les atomes ´ eject´ es sont plus ´ energ´ etiques que la moyenne.

8. N _f = N _i − N _e et E ^c _f = E ^c _i − E ^c _e . 9. T _f /T _i = 1 − ² _{3 e}

^η −1 < 1 avec η = _k ^ε

B

T

.

1

3 Mod` ele de dim` eres d´ esordonn´ es

1. d´ eg´ en´ erescence g 0 = 1, g 1 = 3. Sch´ ema.

2. z = X

j,m

e ^−βε

= 1 + e ^−βJ (1 + 2ch(βB)), ´ energie libre f = −k _B T ln[1 + e ^−βJ (1 + 2ch(βB))].

3. Un dim` ere en champ nul B = 0.

(a) z = 1 + 3 e ^−βJ . (b) ε ^c = − ∂

∂β ln z = J 1

1 + e ^βJ /3 . c _J (T ) = ^∂ε _∂T

= k _B h(T _s /T ) avec h(x) = x ² 3

e ^x

(1 + e ^x /3) ² , avec T _s = J/k _B .

(c) Courbe c J (T ). Gel dans l’´ etat singulet dans la limite T → 0 ` a cause du gap.

4. Un dim` ere en champ fini B 6= 0.

(a) m ^c = − ∂f

∂B = 2 sh(βB)e ^−βJ 1 + e ^−βJ (1 + 2ch(βB)) . (b) χ _J (T) = 1

J ˜ h(T _s /T ) avec ˜ h(x) = 2 3

x 1 + e ^x /3 .

(c) Courbe χ _J (T ). Haute T (question difficile car pas d’indications... mais r´ eponse intuitive), on retrouve le comportement de deux spins 1/2 paramagn´ etiques χ J (T ) ' ¹ _{2 k} ¹

B

T = 2χ _1/2 . En effet, pour un spin 1/2 seul, m _j=1/2 = ±1/2 cela donne ¯ m = ¹ ₂ th(βB/2) (attention, il faut prendre en compte le 1/2 ici pour comparer avec les spin un, pas comme en TD) soit χ _1/2 = ¹ _{4 k} ¹

B

T .

5. Ensemble de dim` eres d´ esordonn´ es.

(a) hc _J i = Z J

0

dJ ρ(J )h(k B T /J).

(b) posons x = J/k B T , alors hc _J i = k B T J max

Z J

/k

T

0

h(x)dx ∝ T lorsque T → 0 soit α = 1.

(c) De mˆ eme, hχ _J i = 1 J max

Z J

/k

T

0

2 3

1

1 + e ^x /3 dx tend vers un constante lorsque T → 0.

2