Z Z d ” 41 Q Q d ˇ Q ˇ Q Q Z Z Q Z X Z Q Z X Q X Q Q X Z X 1) (a) Si Z X

1) (a) Si F(X)=G(X)H(X) avec G(X),H(X)∈Z

[ ]

^X , alors le produit des coefficients dominants de G et de H vaut 1.

Ces coefficients sont donc tous deux égaux à 1 ou à -1.

Quitte à changer G( X)par −G( X) et H( X)par −H( X), on peut alors supposer que G et H sont unitaires.

Comme ^F(α)=0, on a, par exemple, ^G(α)=0^.

Or degG≤degFet par l’hypothèse de minimalité de degF, on a degG=degFdonc G= F et F est irréductible dans Z

[ ]

^{X .}

(b) On a Cont(F)=1car F est unitaire donc F( X)est irréductible dans Q

[ ]

^{X .}

Ainsi, F( X)est un polynôme unitaire irréductible de Q

[ ]

^X qui s’annule en α . Il est donc égal à ^Irr(α,^Q,X). 2) On vient de voir que si α est entier sur Z, alors ^Irr(α,^Q,X)∈ Z

[ ]

^{X .}

Inversement, si un nombre complexe α est tel que ^Irr(α,^Q,X)∈ Z

[ ]

^{X , alors} α est zéro du polynôme unitaire ,

(α

Irr Q,X)à coefficients dans Z, donc α est entier sur Z par définition.

3) Si d n’est pas un carré parfait, alors d ∉Q donc α∉ ^Q.

Aussi, on a

( )

4 1 4

2

2 =1+ d +d = + d−

α

α ^.

αest donc racine du polynôme

4 ) 1 ) (

( ² d

X X X

f = − + − . Le polynôme minimal de α^{sur Q} est de degré ≥2 (puisque α∉ ^{Q et divisef(X)}). Il est donc égal à f(X).

Par 2), α est entier sur Z si et seulement si − ∈ 4

) 1

( d

Z, ce qui équivaut à dire que ^{d ≡1}

[ ]

^{4 .}