D291. A la croisée des chemins
Zig part du sommet A1 d'un polygone régulier A1A2A3...A2n de 2n côtés et de centre O. Il parcourt en ligne droite la diagonale A1A3, puis la diagonale A3An, puis le côté AnAn-1, puis la diagonale An-1A2 qui croise la diagonale A3An au point P, puis la diagonale A2A2n-2 qui croise la diagonale A1A3 au point Q.
Démontrer que le triangle QOP est isocèle de sommet Q.
On suppose que le polygone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 1 et dont le centre O a pour affixe 0.
Les affixes de A1A2A3...A2n sont : a, a², a3, 1. L'affixe de An est – 1.
Rappel : si a et b sont les affixes de deux points A et B du cercle unité, l'affixe z de tout point de la droite AB vérifie z = a+b – ab
̄ z
L'affixe de P, intersection de An-1A2 et A3An vérifie les deux équations : z = a² – 1/a + a
̄ z
et z = a3 – 1 + a3̄ z
a² – 1/a + a
̄ z
= a3 – 1 + a3̄ z
impliquē z
= (1 – a3)/[a²(a+1)] et z = (a 3 – 1)/(a+1) L'affixe de Q, intersection de A2A2n-2 et A1A3 vérifie les deux équations :z = a² + a-2 –
̄ z
et z = a + a3 – a4̄ z
a² + a-2 –
̄ z
= a + a3 – a4̄ z
impliquē z
=(a4+a²+a+1)/[a²(a3+a²+a+1)] et z = a(a 4 +a 3 +a²+1)/(a3 +a²+a+1) Comparaison des modules deq = a(a4+a3+a²+1)/(a3+a²+a+1) et de q – p = a(a4+a3+a²+1)/(a3+a²+a+1) – (a3 – 1)/(a+1) q = a(a4+a3+a²+1)/[(a²+1)(a+1)] et q – p = (a4+a2+a+1)/[(a²+1)(a+1)]
q/(q – p) = [a(a4+a3+a²+1)]/(a4+a2+a+1) dont le conjugué s'obtient en remplaçant a par 1/a :
̄ q /(̄ q − ̄ p)
= (a4+a2+a+1)/[a(a4+a3+a²+1)]Le carré du module de q/(q – p) est égal au produit {q/(q – p)}.{