D´epartement MIDO - L3 - Ann´ee 2018-2019 Topologie et Analyse fonctionnelle.
Examen du 22 Mai 2019. Dur´ee : deux heures.
• Les t´el´ephones portables, calculatrices et documents sont interdits.
• La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements inter- viendront de fa¸con importante dans l’appr´eciation des copies.
Exercice 1 :
Pour f ∈ Lp(IR+) et g ∈ Lq(IR+) deux fonctions `a valeurs positives ou nulles, avec 1 < p <∞ etp−1+q−1 = 1, on noteI(f, g) =R
IR+2
f(x)g(y) x+y dxdy.
1. Montrer que
I(f, g)≤ Z
IR2+
fp(x) x+y
x y
1/q
dxdy
!1/p
Z
IR2+
gq(y) x+y
y x
1/p
dxdy
!1/q
2. Montrer que Z
IR2+
fp(x) x+y
x y
1/q
dxdy =Cqkfkpp et Z
IR2+
gq(y) x+y
y x
1/p
dxdy=Cpkgkqq,
avec Cα =R
IR+
dt
t1/α(1+t) pour toutα >1.
3. On admet queCα= sin(π/α)π . En d´eduire queI(f, g)≤ sin(π/p)π kfkpkgkq. Exercice 2 :
Soit f ∈ L1C(IR). On rappelle la formule ˆf(ξ) = √1
2π
R
IRe−iξxf(x)dx . On suppose qu’il existe R >0 tel que ˆf(ξ) = 0 pour toutξ en dehors de l’inter- valle [−R, R].
1. Montrer que pour tout entier naturel n, ξnfˆ(ξ) est une fonction int´e- grable sur IR.
2. En d´eduire que f a un repr´esentant continu. Dans toute la suite, la lettre f d´esigne ce repr´esentant. Montrer que f est de classeC∞ et ´ecrire la d´eriv´een-i`eme f(n)(x) comme une int´egrale faisant intervenir ˆf.
3. Montrer que|f(n)(x)| ≤CRn avecC une constante ind´ependante de n et de x.
4. En d´eduire que pour tout a dans IR, la s´erie de Taylor P
n≥0 f(n)(a)
n! yn a un rayon de convergence infini, et que pour tout b∈IR,
f(b) =
∞
X
n=0
f(n)(a)
n! (b−a)n.
1
5. En d´eduire que si, de plus,f est nulle en dehors d’un intervalle [−R0, R0], alors f est nulle sur IR.
Exercice 3 :
Soit (H, <·,·>) un espace de Hilbert complexe. PourxdansH etAune partie de H, on note d(x, A) = inf{kx−ak, a∈A}.
a) Soita6= 0 dans H. Montrer que :
∀x∈H, d(x,(Ca)⊥) = |< x, a >| kak .
b) Plus g´en´eralement, siF est un sous-espace vectoriel ferm´e deH, mon- trer que :
d(x, F⊥) = sup
y∈F,kyk=1
|< x, y > |.
c) Calculer inf(α,β)∈C2R1
−1|x2−αx−β|2dx.
d) En d´eduire la valeur de supg∈G|R1
−1x2g(x)dx|, o`u G={g ∈L2
C([−1,1]) : Z 1
−1
g = Z 1
−1
xg = 0 et Z 1
−1
|g|2 = 1}.
Exercice 4 :
a) Montrer que (d/dx)n(e−x2) = (−1)ne−x2Hn(x), o`uHn est un polynˆome de degr´en dont on calculera le coefficient de plus haut degr´e.
b) Montrer que φn(x) =e−x2/2Hn(x) appartient `a L2R(IR) et calculer les produits scalaires < φn, φm >L2 (on rappelle la formule R
IRe−x2dx = π1/2).
En d´eduire qu’en posant cn = π−1/42−n/2(n!)−1/2, les fonctions ψn = cnφn forment un syst`eme orthonormal dansL2
C(IR).
Indication : pour le calcul de< φn, φm >L2, se ramener au cas n ≤m et commencer par v´erifier que< φn, φm >L2= (−1)mR
IRHn(x)(d/dx)m(e−x2)dx.
c) On se propose de montrer que (ψn)n≥0 est une base hilbertienne de L2C(IR).
i) Montrer qu’`a ξfix´e, il existe une suite Pξ,n(x) de fonctions polynˆomes de la variable x`a coefficients complexes, telle que : pour tout x∈IR, limn→∞Pξ,n(x) = eixξ et |Pξ,n(x)| ≤e|xξ|.
ii) Soit f ∈ L2
C(IR) telle que pour tout n ≥ 0, < f, ψn >L2= 0. On pose g(x) = e−x2/2f(x). Montrer que g ∈ L1C(IR) et que pour ξ fix´e, g(x)e|xξ|∈L1C(IR), puis d´eduire du i) que la transform´ee de Fourier de g est identiquement nulle.
iii) Conclure.
2
