A4902 − La traversée de la diaogonale [*** à la main]
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont des nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que le périmètre du rectangle est ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir un exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution proposée par Daniel Collignon
A part le 1er (et par symétrie le dernier) carré où il y en a 1 seul, il y aura 2 petits triangles rectangles à chaque fois que la diagonale traverse l'un des p-1 segments horizontaux parallèles à [AB].
Le triangle ABC a pour périmètre m=p+q+rac(p²+q²), q fois celui du 1er triangle en considérant l'homothétie de centre A et de rapport 1/q.
Lorsqu'il y a 2 petits triangles rectangles, le périmètre reste constant, égal à celui d'1 petit triangle rectangle (cela se "lit" à l'aide de la configuration croisée du théorème de Thalès).
Ainsi la somme des périmètres vaut (p+1)m/q, d'où q=3(p+1).
La contrainte 2(p+q)=<2018 entraîne alors p=<251.
m/3 entier => p+1+(p+r)/3 entier avec r² = p²+q² = p² + (3(p+1))²
On peut voir cette dernière comme une équation de Pythagore, conduisant à 2 équations de Pell-Fermat :
p=x²-y² et 3(p+1)=2xy => 3(x²-y²+1)=2xy => (3x-y)²-10y²=-9 ou (3y+x)²-10x²=9 ou
p=2xy et 3(p+1)=x²-y² => 3(2xy+1)=x²-y² => (x-3y)²-10y²=3 ou (y+3x)²-10x²=-3 (mais pas de solution modulo 10)
Ou bien directement comme une équation de Pell-Fermat (10p+9)²-10r²=-9.
X²-10Y²=-9 admet pour solutions (X0,Y0)=(1,1), (9,3), (41,13) X²-10Y²=1 admet pour plus petite solution (X,Y)=(19,6) X_{n+1}=19X_n + 60Y_n
Y_{n+1}=6X_n + 19Y_n
Nous vérifions que (p,q,r) = (7,24,25) ou (155,468,493).
Seul le deuxième cas est à retenir car p+r doit être un multiple de 3.
