A4902. La traversée de la diagonale
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir l'exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Solution proposée par Jean-Louis Margot:
La diagonale est d’équation y= -(p/q)*x
Chaque triangle a pour base une droite d’équation y = n, 0>=n>=-p.
La diagonale coupe cette droite au point -q*n/p. Si q*n/p est entier alors p divise n car p et q sont premiers entre eux, donc n=0 ou n=-p.
Cas - p<n<0, alors q*n/p n’est pas entier et pour un entier m, m< -q*n/p < m+1 La diagonale coupe x=m au point -(p/q)*m
m< -q*n/p < m+1 et p/q <1 n+1 > n + p/q > -p*m/q >n Le triangle est contenu dans le carré ([]m,m+1[,]n+1,n[].
La diagonale coupe x=m+1 au point -(p/q)*(m+1)
m< -q*n/p < m+1 et p/q <1 n-1<n- p/q<n< -(m+1)*p/q< n
Le triangle est contenu dans le carré ([]m,m+1[,]n-1,n[]. Ce triangle ne contient pas d’autre triangle.
Les 2 triangles sont donc contenus dans le rectangle (]m,m+1[,]-n-1,n+1[) délimité par les ordonnées –n et –(n-1) ,et les abscisses m et m+1. La somme de leurs côtés sur la base y=n vaut 1, la somme de leurs hauteurs p/q, et la somme de leurs diagonale est la diagonale du triangle les contenant de base 1 et de hauteur p/q, soit .
La somme des périmètres de ces 2 rectangles est donc
Pour x=0, un seul triangle en dessous de l’axe des x et de base 1. Là encore le périmètre est
. Pour x=p, un seul triangle au dessus et de base 1. Là encore le périmètre est
Soit Le périmètre du triangle ABC est : )
D’où :
3 *(p+1)) = 0
q = 3*(p+1)
p premier avec q et
On a p<= 251 et q<=756
Le périmètre du triangle est entier, la diagonale doit donc être de longueur entière.
Il faut , avec d entier.
p et q étant premiers entre eux , il existe 2 entiers a et b (a>b) tels que : et
OU
et p
CAS 1 : et
D’où :
– ou
doit un entier, or ≡3 (10) : ce ne peut être un carré Pas de solution
CAS 2 : et
19
<=251
D’où :
– négatif ou nul pour . Ne convient pas.
Ou
(I1)
(I2) Il faut m entier.
cas 2-1 : b divisible par 3
dans ce cas m est divisible par 3 et Développement en fraction continue de :
(maxima) cflength :20 ;cf(sqrt(10)) ;
[3, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6]
OK donc m=0,b=3,a=4p=7,q=24 mais cette solution ne convient car le périmètre du triangle ABC = (7 + 24 + 25) = 56 n'est pas divisible par 3
(maxima) radcan(cfdisrep([3, 6])) ; 19
(%o8) -- 6
19 et 6 donnent +1 : ne peut pas convenir
(maxima) radcan(cvdisrep([3, 6, 6])) ; 117
(%o62) --- 37
b=111>19 (I1) NOK
La suite des valeurs de b étant croissante, il n’y a pas d‘autres solutions dans ce cas.
cas 2-2 : b NON divisible par 3
2ab ≡0 (3) 3 divise a
D’où :
ou
La première solution donne un nombre négatif. Elle ne convient pas.
On retient :
Il faut m entier.
a est divisible par 3, donc m est divisible par 3 et Reprenons la technique sur les fractions continues :
donnent -1 : ne convient pas.
(maxima) radcan(cfdisrep([3, 6])) ; 19
(%o8) -- 6
,
[3, 6, 6] donne -1 : ne convient pas.
(maxima) radcan(cfdisrep([3, 6,6,6])) ; 721
(%o9) --- 228
684>25 (I2) NOK
La suite des valeurs de a étant croissante, il n’y a pas d‘autres solutions dans ce cas.
Une seule solution : p=155,q=468
--- Autre : solution « informatique » (programme maxima) :
for p:1 thru 251 do (
q:3*(p+1),d:p^2+q^2, if gcd(p,q)=1 and entier(sqrt(d))^2=d then print("p=",p,"q=",q,"diagonale=",p+q+entier(sqrt(d)))
);
p= 155 q= 468 périmètre= 1116 divisible par 3.
