A4902. La traversée de la diagonale ***
Les longueurs des côtés d’un rectangleABC D sont deux nombres entierspetq relativement premiers entre eux tels quep<qet le périmètre du rectangle 2(p+q) est inférieur ou égal à 2018. On trace lesp q carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonaleAC traverse des carrés de côté unité et délimite à l’intérieur de certains d’entre eux des pe- tits triangles rectangles (voir l’exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangleABC.
Déterminerpetq.
Solution de Claude Felloneau
Réponse :p=155 etq=468 Preuve :
Par hypothèse, on aAD=p,AB=qet le périmètreT du triangleABCest 3aoùaest un entier naturel.
Commep etq sont premiers entre eux, la diagonale (AC) ne passe par aucun sommet de carré de côté unité autres queAetC.
- Elle délimite, dans le carré de côté unité ayant pour sommetA, un triangle semblable au triangleABC dont le périmètre est doncT
q. Il en est de même dans le carré de côté unité et de sommetC.
- Si elle coupe un côté horizontal d’un carré de côté unité en un pointE, elle délimite dans les carrés de côté unité ayant ce côté en commun deux triangles semblables au triangleABC. La somme de leurs périmètres est donc égale àT
q.
Finalement la somme des périmètres des triangles qu’elle délimite est égale (p+1)T
q =3a(p+1)
q . Comme
elle est égale àapar hypothèse, on a :q=3(p+1).
La condition 2(p+q)62018 donne 8p+662018 d’oùp6251.
CommeT =p+q+p
p2+q2, on ap
10p2+18p+9=3a−p−qest un entier naturel.
À l’aide d’un tableur, on ne trouve que deux valeurs deppour lesquellesp
10p2+18p+9 est un entier : p=7 oup=155.
Dans le premier cas, on obtientq =24,p
10p2+18p+9=25 et 3a=7+24+25 soit 3a=56, ce qui est impossible puisqueaest entier.
Dans le second cas, on obtientq=468,p
10p2+18p+9=493 et et 3a=155+468+493 soita=372 qui est bien un entier.
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