A50304. 600 triangles sur un même côté
Parmi les triangles rectangles à côtés mesurés par des entiers, on constate qu’il y en a exactement 600 ayant un côté de longueurn. Quelle est la plus petite valeur de n?
Solution
Les 600 triangles rectangles se répartissent entre deux possibilités : – le côté n est un côté de l’angle droit, et il faut dénombrer les solutions de n2 =x2−y2 (avecx > y >0) ;
– c’est l’hypoténuse, et il faut dénombrer les solutions de n2 = x2 +y2 (avec x > y >0).
Le second aspect esty facilité par la propriété (cf. quelques indications en annexe) : soit N un entier, D1 le produit de ses facteurs premiers de la forme 4k+ 1, D3 le produit de ses facteurs premiers de la forme 4k+ 3, en sorte que N = 2r ·D1 ·D3. Pour que l’équation N = x2 +y2 ait une solution, il faut que D3 soit carré parfait ; alors, les équations (avec x > y > 0) N = x2 +y2, D1 = x2 +y2 et D1 = x2−y2 ont le même nombre de solutions.
Dans chaque diviseur deN, chaque facteur premier a un exposant entre 0 ete, son exposant dans N, soit 1 +epossibilités ; le nombre des diviseurs de N estd(N), produit des quantités 1 +e.
Chaque solution de N =x2−y2 = (x+y)(x−y), avec x > y >0, utilise deux diviseurs distincts de N; si N =n2, le diviseur n·n est à écarter ; de plus, les facteurs x+y etx−y sont de même parité : sinest pair, cela restreint à d(n2/4) diviseurs.
Soit n= 2r·D1·D3;A=d((D1)2),B =d((D3)2), produits des quantités 1 + 2eoù les valeurs deesont les exposants dans n.
Sir = 0 (nimpair),n2 a ABdiviseurs dont nlui-même, d’où (AB−1)/2 solutions pour n2 =x2−y2.
Si r > 0 (n pair), l’exposant de 2 dans les diviseurs utilisables va de 1 à 2r−1, d’où (AB(2r−1)−1)/2 solutions pourn2 =x2−y2.
Les deux cas sont réunis dans la formule (AB|2r−1| −1)/2.
Quant aux triangles d’hypoténusen, par la propriété mentionnée, ils sont en nombre (A−1)/2 comme les solutions de (D1)2 =x2−y2.
L’équation du problème est donc
600 = (AB|2r−1| −1)/2 + (A−1)/2, soit B|2r−1|+ 1 = 1202/A.
A, diviseur impair de 1202, est 1 ou 601 qui est premier.
– SiA= 1 (D1 = 1),B|2r−1|= 1201 premier ;B = 1 ou 1201 ;
∗si B = 1 (D3 = 1), r= 601 et n= 2601.
∗ si B = 1201, 2r −1 = ±1, n = q600 ou n = 2q600, deux familles de solutions oùq est un nombre premier de la forme 4k+ 3, soit 3, 7, 11, . . ..
– SiA= 601,B = 1, 2r−1 =±1,n=p300 oun= 2p300, deux familles de solutions oùpest un nombre premier de la forme 4k+ 1, soit 5, 13, 17, . . . Les premières valeurs densont 2601, 5300, 2·5300, 3600, 2·3600, . . . Annexe. La propriété annoncée se déduit des propositions suivantes.
1/ Les décompositionsx2+y2 de N et 2N sont en correspondance biuni- voque, par 2(x2+y2) = (x+y)2+ (x−y)2, et sont donc en nombre égal.
Ainsi les décompositions deN etD1D3 sont en nombre égal.
2/ Siq diviseur premier deD3 diviseN =x2+y2, il divise aussix ety et chaque décomposition de N est en correspondance biunivoque avec celle de N/q2 = (x/q)2+ (y/q)2. Ainsi les décompositions de N etD1 sont en nombre égal.
3/ Les doubles des nombres de décompositionsN =x2+y2 etN =x2−y2 sont des fonctions multiplicatives : la fonction du nombre produit est le produit des fonctions des facteurs, quand ceux-ci sont premiers entre eux 2 à 2.
4/ Soit p un diviseur premier de D1. Il admet une décomposition p = u2+v2. La décompositionpk =x2−y2 avecx etypremiers entre eux est unique : x = (pk+ 1)/2, y = (pk−1)/2. La décomposition pk = x2+y2 avecxety premiers entre eux est unique et donnée parx+iy= (u+iv)k. Le nombre des décompositions de pk avec x et y non premiers entre eux est le nombre des puissances dep qui peuvent être PGCD de x ety, soit bk/2c.
