A4902. La traversée de la diagonale***
Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir l'exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
PROPOSITION Th Eveilleau
Soit p la longueur du rectangle et q sa largeur.Les nombres p et q étant premiers entre eux, la diagonale coupe toutes les lignes du verticales et horizontales sans passer par les nœuds intérieurs au grand rectangle.
(Cf http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/points.htm )
Nous obtenons ainsi des triangles qui associés par deux ou seuls pour les deux extrémités, ont tous le même périmètre : 1+ q/p +
Ces figures constituées de un ou deux triangles associés, sont au nombre de q+1, puisqu’il y en une par ligne tracée.
Le périmètre de tous ces triangles est (q+1) * ( 1 + q/p +
).
Le périmètre du triangle ABC est ( p + q + ).
Il nous faut trouver des valeurs entières pour ce périmètre ( p + q + ) / 3 Nous avons 90 couples (p,q) d’entiers premiers entre eux, possibles :
(3,4) (5,12) (9,40) (11,60) (12,35) (15,112) (16,63) (17,144) (21,220) (23,264) (24,143) (27,364) (28,45) (28,195) (29,420) (33,544) (35,612) (36,77) (36,323) (39,760) (40,399) (41,840) (48,575) (52,165) (52,675) (60,221) (60,899) (65,72) (76,357) (84,437) (88,105) (95,168) (100,621) (105,208) (108,725) (119,120) (120,209) (124,957) (135,352) (136,273) (155,468) (160,231) (161,240) (165,532) (168,425) (180,299) (184,513) (185,672) (189,340) (195,748) (203,396) (215,912) (216,713) (220,459) (231,520) (232,825) (240,551) (252,275) (273,736) (280,351) (280,759) (287,816) (297,304) (315,988) (336,377) (336,527) (341,420) (364,627) (400,561) (407,624) (420,851) (429,460) (429,700) (432,665) (448,975) (455,528) (473,864) (495,952) (496,897) (533,756) (540,629) (580,741) (585,928) (616,663) (660,779) (660,989) (731,780) (765,868) (832,855) (893,924)
Il faut maintenant égaliser le périmètre du triangle ABC avec (q+1) * ( 1 + q/p +
).
Une simple recherche informatique sur ces couples d’entiers p et q premiers entre eux, donnant des valeurs égales avec la somme des périmètres des triangles, nous mène à
