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A4902. La traversée de la diagonale

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Academic year: 2022

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A4902. La traversée de la diagonale

Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.

La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir l'exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.

Déterminer p et q.

Les deux longueurs des côtés étant premières entre elles, il y aura (p-1) intersections formant 2 triangles chacune, plus deux grands triangles aux extrémités.

Le périmètre d'un couple de triangles sera de (p+1)/q fois celui de ABC par proportion.

On cherche donc un triplet pythagoricien (afin d'obtenir un résultat entier ) tel que :

p^2 + q^2 = x^2 avec ( p + q + x ) multiple de 3 et q = 3 (p+1)

Le test est simple et on aboutit à une solution unique : p = 155 et q = 468

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