A4902. La travesée de la diagonale
Solution proposée par M. Foubert
On noterla longueur de la diagonale AC, qui vérie r=p
p2+q2, etT le périmètre du triangle rectangle ABC :T =p+q+r entier divisible par 3.
Etudions l'apparition de triangles tels que ceux coloriés en vert dans l'énoncé.
Il s'en forme d'abord deux dans les coins du rectangle. Chacun a pour péri- mètre1 + pq +
r 1 +
p q
2
.
De plus, àp−1reprises, la diagonale coupe un segment horizontale, formant alors deux petits triangles dont les périmètres additionnés valent également 1 +pq +
r 1 +p
q
2
. Le fait quepetqsoient premiers entre eux garantit que la diagonale AC ne passe jamais par le coin d'un des carrés unitaires.
La somme des périmètres de tous les triangles formés vaut ainsi :
(p+ 1)
1 + p q+
s 1 +
p q
2
= T 3
De là :
qT = 3(p+ 1)(p+q+r) = 3(p+ 1)T
On est assuré queT est non nul, ce qui donne nalement : q= 3(p+ 1)
Ainsi la solution au problème posé est résumée dans un triplet(p, q, r)d'en- tiers naturels non nuls vériantq= 3(p+ 1) et r2 =p2+q2, où p+q+r est divisible par 3.
La contrainte2(p+q)≤2018se traduit par8p≤2012, soitp≤251. Un tableau Excel dont les colonnes gurent respectivement p , q , r et (p+q+r)/3pour p compris entre 1 et 251 permet d'identier que seul le triplet (155,468,493)convient.
Conclusion p= 155etq= 468
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