Les longueurs des côtés d'un rectangle ABCD sont deux nombres entiers p et q relativement premiers entre eux tels que p < q et le périmètre du rectangle = 2(p + q) ≤ 2018. On trace les pq carrés de côté unité dont les côtés sont parallèles aux côtés du rectangle.
La diagonale AC traverse des carrés de côté unité et délimite à l'intérieur de certains d'entre eux des petits triangles rectangles (voir un exemple supra) dont la somme des périmètres est un nombre entier égal au tiers du périmètre du triangle rectangle ABC.
Déterminer p et q.
Il y a p-1 lignes horizontales intermédiaires, donc p-1 points d’intersection avec la diagonale ; il suffit de tracer la parallèle à la diagonale passant par le coin du carré pour voir que la somme des périmètres des deux petits triangles rectangles ayant ce point d’intersection pour sommet est à chaque fois égale au périmètre des triangles ayant pour sommets les extrémités A et C, soit 1+p/q+√(1+p2/q2). La somme des périmètres des petits triangles est donc (p+1)(1+p/q+√(1+p2/q2), tandis que le périmètre de ABC est p+q+√(p2+q2)=q(1+p/q+√(1+p2/q2)
On en déduit que q=3(p+1).
Par ailleurs p et q sont les deux premiers éléments d’un triplet pythagoricien :
Le premier triplet tel que q=3(p+1) est (7, 24, 25) mais le périmètre obtenu, 56, n’est pas divisible par 3. Le suivant est (155, 468, 493) qui donne un périmètre de 1116, dont le tiers est bien entier. Les solutions suivantes dépassent la limite fixée au périmètre.
