1) Soit A ∈ M2,2(K), à diagonale fortement dominante

Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence

Mathématiques Année 2010–2011

FEUILLE D’EXERCICES n^o1 Gerschgörin-Hadamard

Exercice 1 – Soit A =





1 +i i 2

−3 2 +i 1

1 i 6



. Montrer sans calculer les valeurs

propres de A que ρ(A)68.

Exercice 2 – SoitAune matrice symétrique de M_n,n(R). On suppose que Aest à diagonale strictement dominante et que pour tout i, a_ii>0. Montrer que pour tout x∈Rⁿ non nul, on a x^tAx >0.

Exercice 3 – Soit A ∈ M_n,n(K). On dit que A est à diagonale fortement dominante si A est à diagonale dominante et s’il existe un indice k pour lequel

|akk|>X

j6=k

|akj|.

1) Soit A ∈ M_2,2(K), à diagonale fortement dominante. Montrer que si a_ii 6= 0 pour i= 1, 2 alors A∈GL₂(K).

2) Montrer que pour tout n > 2, il existe des matrices à diagonale fortement dominante, non inversibles.

On dit que A ∈ M_n,n(K) est réductible s’il existe une partition de {1, . . . , n}

en deux sous-ensembles non videsI etJ tels quea_ij = 0 pour tout (i, j)∈I×J. Dans le cas contraire on dit que A estirréductible.

3)Démontrer le deuxième théorème de Greschgörin-Hadamard qui s’énonce ainsi.

Théorème. Soit A ∈ Mn,n(K) irréductible. Si une valeur propre λ est sur la frontière de la réunion des disques de Gerschgörin D_k, alors tous les cercles de Gerschgörin passent par λ.

Indication : on pourra considérer un vecteur propre x associé à λ et poser I =n

i∈ {1, . . . , n}; |x_i|= max

j |x_j|o .

4)En déduire que toute matrice deM_n,n(K)irréductible et à diagonale fortement dominante est inversible.

5) Donner un exemple de matrice à diagonale fortement dominante réductible et inversible.