a. Explique pourquoi ce nombre est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.

(1)

Le nombre √ 2 est le nombre qui, multiplié par lui- même, donne 2.

a. Explique pourquoi ce nombre est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.

b. Justifie que √ 2 est compris entre 1,4 et 1,5.

c. Propose une méthode pour déterminer la deuxième, puis la troisième décimale de √ 2.

d. Dans une encyclopédie mathématique, on peut trouver la formule suivante :

√ 2 = ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ )( ¹ ^ ¹ ⁵ )( ¹ ⁻ ¹ ⁷ ) ^...

Que signifient les pointillés ?

e. Voici une suite d'expressions mathématiques :

( ¹ ^ ¹ ¹ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ )( ¹ ^ ¹ ⁵ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ )( ¹ ^ ¹ ⁵ )( ¹ ⁻ ¹ ⁷ ) ^.

Quel lien y a-t-il entre ces expressions et la question précédente ? Écris les deux expressions permettant de poursuivre cette liste.

f. À l'aide de la calculatrice, donne les valeurs exactes de ces six expressions.

g. La feuille de calcul suivante permet d'obtenir les valeurs approchées de chacune des expressions de la question e.

Voici quelques indications pour t'aider à construire cette feuille de calcul :

• La cellule A3 contient la formule =A2*(–1) .

• La cellule B3 contient une formule faisant référence à la cellule B2.

• Les cellules de la colonne C contiennent des formules faisant référence aux cellules de la colonne B.

• Les cellules de la colonne D permettent de calculer les facteurs : ( ¹ ^ ¹ ¹ ) ^; ( ¹ ⁻ ¹ ³ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ⁵ ) ^…

• Les cellules de la colonne E contiennent les valeurs approchées des expressions de la question e.

h. À l'aide de la feuille de calcul, détermine la valeur de la centième expression et compare le résultat avec la valeur de √ 2. Combien de décimales exactes de √ 2 obtient-on à la centième étape ?

N0 • Calculs

18 Approchez, a pprochez

!

a. Explique pourquoi ce nombre est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.

Le nombre √ 2 est le nombre qui, multiplié par lui- même, donne 2.

a. Explique pourquoi ce nombre est la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.

b. Justifie que √ 2 est compris entre 1,4 et 1,5.

c. Propose une méthode pour déterminer la deuxième, puis la troisième décimale de √ 2.

d. Dans une encyclopédie mathématique, on peut trouver la formule suivante :

√ 2 = ( 1  1 1 )( 1 − 1 3 )( 1  1 5 )( 1 − 1 7 ) ...

Que signifient les pointillés ?

e. Voici une suite d'expressions mathématiques :

( 1  1 1 ) ; ( 1  1 1 )( 1 − 1 3 ) ; ( 1  1 1 )( 1 − 1 3 )( 1  1 5 ) ; ( 1  1 1 )( 1 − 1 3 )( 1  1 5 )( 1 − 1 7 ) .

Quel lien y a-t-il entre ces expressions et la question précédente ? Écris les deux expressions permettant de poursuivre cette liste.

f. À l'aide de la calculatrice, donne les valeurs exactes de ces six expressions.

g. La feuille de calcul suivante permet d'obtenir les valeurs approchées de chacune des expressions de la question e.

Voici quelques indications pour t'aider à construire cette feuille de calcul :

• La cellule A3 contient la formule =A2*(–1) .

• La cellule B3 contient une formule faisant référence à la cellule B2.

• Les cellules de la colonne C contiennent des formules faisant référence aux cellules de la colonne B.

• Les cellules de la colonne D permettent de calculer les facteurs : ( 1  1 1 ) ; ( 1 − 1 3 ) ; ( 1  1 5 ) …

• Les cellules de la colonne E contiennent les valeurs approchées des expressions de la question e.

h. À l'aide de la feuille de calcul, détermine la valeur de la centième expression et compare le résultat avec la valeur de √ 2. Combien de décimales exactes de √ 2 obtient-on à la centième étape ?

N0 • Calculs

18

Approchez, a pprochez

!

√ 2 = ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ )( ¹ ^ ¹ ⁵ )( ¹ ⁻ ¹ ⁷ ) ^...

( ¹ ^ ¹ ¹ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ )( ¹ ^ ¹ ⁵ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ¹ )( ¹ ⁻ ¹ ³ )( ¹ ^ ¹ ⁵ )( ¹ ⁻ ¹ ⁷ ) ^.

• Les cellules de la colonne D permettent de calculer les facteurs : ( ¹ ^ ¹ ¹ ) ^; ( ¹ ⁻ ¹ ³ ) ^; ( ¹ ^ ¹ ⁵ ) ^…