A484 – Un lieu diophantien (*** à la main)
d'après un problème proposé par Patrick Gordon
Dans un repère orthonormé (x’0x,y’Oy), on trace un carré ABCD de centre O dont le sommet A de coordonnées entières (k, k) est situé sur la bissectrice du quadrant xOy et le sommet C est le symétrique de A par rapport à O.
Pour un point M quelconque du plan, on calcule la somme s = aMA² + bMB² + cMC² + dMD² dans laquelle a, b, c et d sont quatre entiers naturels positifs.
1) Démontrer que lorsque s est un constante, le lieu de M est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon en fonction des paramètres k, a, b, c, d et s.
2) Avec a = 3, b = 8 et un cercle (C) de rayon R = 2012 passant par le sommet A, donner au moins deux dimensions possibles du côté du carré ABCD.
Question 1
Le côté du carré est 2k. Traçons le carré centré à l'origine des axes de coordonnées,
parallèlement à ceux-ci, avec A au point de coordonnées (k, k) conformément à l'énoncé, puis, pour fixer les idées, B C D en tournant dans le sens trigonométrique.
La relation définissant s s'écrit :
1) s = a [(x–k)² + (y–k)²] + b [(x+k)² + (y–k)²] + c [(x+k)² + (y+k)²] + d [(x–k)² + (y+k)²]
Elle se simplifie en :
termes en (x² + y²) : (a+b+c+d) (x² + y²) termes en x : – 2k (a – b – c + d) x termes en y : – 2k (a + b – c – d) y termes en k² : + 2k² (a+b+c+d)
= s Soit:
2) (a+b+c+d) (x² + y²) – 2k (a – b – c + d) x – 2k (a + b – c – d) y + 2k² (a+b+c+d)– s = 0
Le lieu de M est donc un cercle, dont il convient tout d'abord de réécrire l'équation en la divisant par (a+b+c+d) afin de l'identifier aisément à l'équation générale d'un cercle de centre I (u, v) et de rayon R, à savoir :
3) (x² + y²) – 2u x – 2v y + u² + v² – R² = 0, Posons :
a' = a / (a+b+c+d) b' = b / (a+b+c+d) c' = c / (a+b+c+d) d' = d / (a+b+c+d) s' = s / (a+b+c+d)
L'équation (2) se réécrit en la divisant par (a+b+c+d) et en introduisant les coefficients
"normés" a', b', c', d' ainsi que s' :
4) (x² + y²) – 2k (a' – b' – c' + d') x – 2k (a' + b' – c' – d') y + 2k² – s' = 0 On peut alors caractériser le centre et le rayon du cercle en identifiant à (3) : On voit que :
u = (a' – b' – c' + d') k ou encore : k (a – b – c + d) / (a+b+c+d) v = (a' + b' – c' – d') k ou encore : k (a + b – c – d) / (a+b+c+d)
On remarque donc que le centre I (u, v) du cercle est le barycentre des points A B C D, affectés des coefficients a', b', c', d'.
On a répondu ainsi à la première partie de la question 1.
Les notations a', b', etc. nous ont été utiles pour la détermination du centre uniquement. Pour la suite, nous les abandonnerons, revenant à a, b, etc.
Quant au rayon R, on voit en comparant (4) et (3), qu'il est tel que : 2k² – s / (a+b+c+d) = u² + v² – R²,
soit :
R² = u² + v² – 2k² + s / (a+b+c+d).
En remplaçant u et v par leurs valeurs en a, b, c, d, il vient :
5) R² = k² [(a – b – c + d)² + (a + b – c – d)²] / (a+b+c+d)² – 2k² + s / (a+b+c+d).
Avec cette relation (5), on a achevé de répondre à la question 1.
Question 2
Utilisons maintenant les données complémentaires de la question 2 de l'énoncé.
On sait que le cercle (C), lieu du point M qui satisfait (1) passe par A.
Dans ce cas, la relation de départ :
s = aMA² + bMB² + cMC² + dMD² s'écrit :
s = aAA² + bAB² + cAC² + dAD²
Mais : AA² = 0, AB² = 4k², AC² = 8k², AD² = 4k² et donc : 6) s = 4k² (b +2 c + d)
Utilisons maintenant les données a = 3, b = 8, R = 2012, pour remplacer a b et R par ces valeurs numériques dans (5) et (6).
Il vient, après simplifications :
7) 2012² (c² + d² + 2cd + 22c + 22d + 121) = k² (8c² + 4d² + 8cd + 64c + 256).
En apparence, c'est peu pour calculer les 3 inconnues c, d, k. On sait toutefois que c et d sont des entiers positifs.
On peut envisager de remarquer que, le polynôme du premier membre n'étant autre que (c + d +11)², la relation (7) implique que (8c² + 4d² + 8cd + 64c + 256) doit être un carré parfait.
Or il se décompose en : 4 [(c + d)² + (c + 8)²]
et (7) se réécrit :
8) 1006² (c + d + 11)² = k² [(c + d)² + (c + 8)²].
On peut alors remarquer que les termes (c + d) et (c + 8) doivent être les deux "jambes" d'un triplet pythagoricien et poursuivre de cette manière.
Une autre méthode consiste à donner à k une valeur d'essai et tenter de résoudre (7) comme une équation de Pell-Fermat (au moyen du site http://www.alpertron.com.ar/QUAD.HTM), ne retenant cette valeur de k que si l'équation a des solutions en c et d entières positives.
L'idée la plus simple est d'essayer une valeur de k diviseur de 2012 (soit : 1, 2, 4, 503, 1006, 2012).
Le bon sens suggère de rechercher des valeurs élevées de k.
La valeur k = 2012 donne la solution c = – 8; d = 19, qui ne convient pas car c < 0.
La valeur k = 1006 donne la solution c = 22t + 3; d = 22t² – 3.
On peut prendre t = 1, d'où c = 25, d = 19. On constate que ces valeurs vérifient bien la relation (7).
Une solution est donc : k = 1006, donc : côté du carré = 2012.
Elle est obtenue avec une infinité de valeurs du couple (c, d), mais peu importe car l'énoncé ne demande pas de caractériser numériquement le centre du cercle.
Une autre méthode consiste à utiliser la paramétrisation classique des triplets pythagoriciens à savoir c + 8 = 2uvw et c + d = u(v² - w²) ou bien c + 8 = u(v² - w²) et c + d = 2uvw avec u,v,w nombres entiers >0, v >w , v et w premiers entre eux.
On obtient deux équations donnant k :
k = 1006(u(v² - w²)+11)/[u(v²+w²)] et k = 1006(2uvw + 11)/[u(v² - w²)]
Avec la première relation pour u = 11,w = v - 1 on retrouve la valeur k = 1006 précédemment mentionnée et pour u = 503, v = 5 et w = 4, on obtient k = 982 d’où côté du carré = 2k = 1964. Les valeurs correspondantes de c et d sont respectivement 4519 et 15601.
Avec la deuxième relation pour u = 503, v = 3 et w = 1, on obtient k = 807 d’où côté du carré
= 2k = 1614. Les valeurs correspondantes de c et d sont respectivement 3010 et 1014.
Trois valeurs de k ont été obtenues. Il y en a bien d’autres...
