A484. Un lieu diophantien
D’après un problème proposé par Patrick Gordon
Dans un repère orthonormé (x’0x, y’Oy), on trace un carré ABCD de centre O dont le sommet A de coordonnées entières (k, k) est situé sur la bissectrice du quadrant xOy et le sommet C est le symétrique de A par rapport à O.
Pour un point M quelconque du plan, on calcule la somme s = aMA² + bMB² + cMC² + dMD² dans laquelle a, b, c et d sont quatre entiers naturels positifs.
Q1) Démontrer que lorsque s est un constante, le lieu de M est un cercle © dont on précisera le centre et le rayon en fonction des paramètres k, a, b, c, d et s.
Q2) Avec a = 3, b = 8 et un cercle © de rayon R = 2012 passant par le sommet A, calculer le côté du carré ABCD.
Solution proposée par Paul Voyer Q1
s=a.MA²+b.MB²+c.MC²+d.MD²
=a[(x-k)²+(y-k)²]+b[(x+k)²+(y-k)²]+c[(x+k)²+(y+k)²]+d[(x-k)²+(y+k)²]
=(x²+y²)(a+b+c+d)+2k(-ax-ay+bx-by+cx+cy-dx+dy)+2ak²+2bk²+2ck²+2dk²
=(x²+y²)(a+b+c+d)-2kx(a-b-c+d)-2ky(a+b-c-d)+2k²(a+b+c+d)
s =
2 ²
) (
) 2 (
) ² (
) 2 (
² )
( k
d c b a
d c b ky a d y
c b a
d c b kx a x d c b a
A s donné ≠0, c’est un cercle centré en G, et a+b+c+d ≠0.
22 2
2
) ² (
) 2 (
² ) ²
(
) 2 (
² a b c d
d c b k a d c b a
d c b ky a d y
c b a
d c b k a d c b a
d c b kx a
x
=
a b c d
s d
c b a
d c b a d
c b a d c b k a
2
2 2
2 2
²
Gx=
d c b a
d c b
k a ; Gy=
d c b a
d c b
k a
R²=
a b c d
s
-
22 2 2
4
d c b a
cd d c b d c b a k
Q2
Calcul du côté du carré (2k) Le cercle passe par A, AG=R.
s=4.k²(b+2c+d) par construction.
En substituant dans R² : R²=
kabbccdd
2 )
²(
4 -
22 2 2
4
d c b a
cd d c b d c b a k
R²=4k²
)² (
2 2
) 2 )(
(
d c b a
cd bd bc ad ac ab d c b d c b a
R²(a²+b²+c²+d²)=4k²[a(b+2c+d-b-2c-d)+b(b+2c+d-c-2d)+c(b+2c+d-d)+d(b+2c+d)]
=4k²[b²+bc-bd+bc+2c²+bd+2cd+d²]=4k²(b²+2bc+c²+c²+2cd+d²)
=4k²[(c+b)²+(c+d)²].
Application numérique : R=2012
On doit trouver c et d entiers tels que 1006²(11+c+d)²=k²[(c+8)²+(c+d)²]
Cela revient à construire un triangle pythagoricien ayant pour côtés : k(c+8), k(c+d) et l'hypoténuse 1006(c+d+11).
Les inégalités du triangle montrent que 1509
8 2
) 11 (
503 1006
k
d c
d
c .
(k< (9²+11²)/9 < 1509).
503 divise k ou [(c+8)²+(c+d)²].
1- Si 503 divise k, k ne peut valoir que 1006 car compris entre 504 et 1509.
Pour que (11+c+d)²=(c+8)²+(c+d)² soit possible, en posant c+d=x :
(11+x)²-x² =22x+121 doit être un carré divisible par 11² et si y=x/11, 2y+1 est carré.
Les premières valeurs sont :
p 2p+1 (2p+1)² y x=c+d c+8 c d
(c+8)/11 ((c+8)/11)²
1 3 9 4 44 33 25 19
2 5 25 12 132 55 47 85
3 7 49 24 264 77 69 195
1006²(55²)=1006²(33²+44²) 1006²(143²)=1006²(55²+132²)
Dans tous les cas, c+d et c+8 sont multiples de 11.
Le côté du carré ABCD vaut dans tous les cas 2k = 2012 .
2- Si 503 ne divise pas k, il divise [(c+8)²+(c+d)²].
D'après l'équation de Pythagore, on peut toujours poser : c+d=2uvw et c+8=u(v²-w²) ou
c+d=u(v²-w²) et c+8=2uvw
L'équation de départ 1006²(11+c+d)²=k²[(c+8)²+(c+d)²] s'écrit
1006²(11+2uvw)²=k²u²(v²+w²)² soit 1006(11+2uvw)=ku(v²+w²) (1) ou 1006²[11+u(v²-w²)]²=k²u²(v²+w²)² soit 1006[11+u(v²-w²)]=ku(v²+w²) (2) 503 divise soit u soit (v²+w²)
2a – Si 503 divise u, posons u=503, sans perte de généralité.
L'équation (1) devient 2(11+1006vw)=k(v²+w²), qui a la solution : v=5, w=4, k=982, c+d=20120, c+8=4527, c=4519, d=15601
Le côté du carré ABCD vaut 2k = 1964 .
L'équation (2) devient 2[11+503(v²-w²)]=k(v²+w²), qui a les 2 solutions : v=3, w=1, k=807, c+d=4024, c+8=3018, c=3010, d=1014
Le côté du carré ABCD vaut 2k = 1614
v=317, w=10, k=1004, c+d=50495667, c+8=3189020 Le côté du carré ABCD vaut 2k = 2008
On peut supposer qu'il existe d'autres solutions pour des valeurs élevées de v et w.
2b – Si 503 ne divise pas u
Alors 503 divise k, cas déjà traité, ou 503 divise v²+w², v²+w²=503m.
Ce qui est impossible pour m<503 (exhaustif par tableur).
S'il y a des solutions, elles correspondent à des nombres très élevés.
