A484. Un lieu diophantien
D'après un problème proposé par Patrick Gordon
Dans un repère orthonormé (x’0x,y’Oy), on trace un carré ABCD de centre O dont le sommet A de coordonnées entières (k, k) est situé sur la bissectrice du quadrant xOy et le sommet C est le symétrique de A par rapport à O.
Pour un point M quelconque du plan, on calcule la somme s = aMA² + bMB² + cMC² + dMD² dans laquelle a, b, c et d sont quatre entiers naturels positifs.
1)Démontrer que lorsque s est un constante, le lieu de M est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon en fonction des paramètres k, a, b, c, d et s.
2)Avec a = 3, b = 8 et un cercle (C) de rayon R = 2012 passant par le sommet A, donner au moins deux dimensions possibles du côté du carré ABCD.
1. Démontrer que lorsque s est un constante, le lieu de M est un cercle (C) dont on précisera le centre et le rayon en fonction des paramètres k, a, b, c, d et s.
: , , : −, , : −, −, : , −, : , =
+
+
+
= −
+ −
+ +
+ −
+ +
+ +
+ −
+ +
= + + +
+ 2− + + − + + + +
+ 2− − + + + 2 + + +
=
+ 2 − + + −
+ + + +
+ 2 − − + +
+ + + + 2
+ + + = + − + + −
+ + +
−
− + + − + + +
+ + − − + + + + +
−
− − + + + + +
+ 2
+ + +
+ − + + − + + +
+ + − − + + + + +
= +
2 −
+ −
+ + +
− 2 + + +
C'est l'équation du cercle :
centre O: − − + + −
+ + + , − − − + +
+ + + rayon % = & +
2 −
+ −
+ + +
− 2 + + +
2. Avec a = 3, b = 8 et un cercle (C) de rayon R = 2012 passant par le sommet A, donner au moins deux dimensions possibles du côté du carré ABCD.
+ 5 + −
11 + +
+ + −11 + +
11 + +
= 2012
4
+2
+
+ 28 + + 64
11 + +
= 2012
= 1006
&64 + 28 + + 2 + 11 + +
Là, on demande à Dario Alpern si 64 + 28 + + 2 +
peut être égal à 11 + +
, pour que le dénominateur soit égal à 1, soit les solutions de
− 6 − 22 − 57 = 0 , ce qui donne une seule valeur du coté, et à la calculatrice, qui en trouve trois de plus : ça fait quatre en tout:
Dario Alpern Calculatrice
. = 22. + 3 = 22.
− 3 Coté = 2 Coté = 2
1 25 19 1006 2012 3010 1014 807 1614
2 47 85 1006 2012 4519 15601 982 1964
... ... ... ... ... 33190 11074 805 1610
... ... ... ...
En poussant les calculs un plus loin, on a :
= 1006
&64 + 28 + + 2 + 11 + +
= 1006 11 + + 0 + 8
+ +
Soit 1 tel que 1
= + 8
+ +
(triplet pythagoricien non forcément primitif -- et même surtout pas --), on a : = 1006 11 + +
1
Il suffit de générer les triplets et leurs multiples (en principe de 503) pendant un temps raisonnable, et de vérifier si est entier.
Ensuite on développe l'équation ² + 8
+ +
− 1006
11 + +
= 0 en remplacant par une valeur inexistante dans le tableau, et en ordonnant suivant et pour pouvoir utiliser Dario Alpern.
3 4 5 3678
4, 5 3678
/:;< 7 = 4 − = 8 = 5 − 7 > ?@A3BC? 3@ADA?AE
4 409 801 3 070 815 3 164 876 5 533 11 3 070 807 94 069 722 797 555 572
5 986 706 3 773 506 4 647 720 11 066 22 3 773 498 874 222 781 541 341 420
55 330 33 198 44 264 11 066 22 33 190 11 074 805 5 3 4
5 030 3 018 4 024 1 006 2 3 010 1 014 807 5 3 4
3 109 546 1 770 560 2 556 246 11 066 22 1 770 552 785 694 827 281 160 231
1 023 605 575 432 846 549 5 533 11 575 424 271 125 832 185 104 153
3 428 951 1 907 376 2 849 495 503 1 1 907 368 942 127 836 6 817 3 792 5 665
690 664 270 340 799 602 600 726 864 1 006 2 340 799 594 259 927 270 875 686 545 338 767 597 144
1 923 388 154 930 942 299 523 682 1 676 750 906 424 11 066 22 942 299 523 674 734 451 382 750 877 173 810 605 85 152 677 151 522 764
20 623 4 527 20 120 503 1 4 519 15 601 982 41 9 40
54 116 688 550 11 505 739 702 52 879 428 264 1 006 2 11 505 739 694 41 373 688 570 983 53 793 925 11 437 117 52 564 044
55 33 44 11 25 19 1 006 5 3 4
D A R IO A LP E R N
521 198 396 655 830 157 278 362
17 506 166 044 670 745 545 286 723 15 321 843
601 058 960 190 825 130
883 645 599 127 558 192 684 054 731 3 167 368
930 703 176 525 865 740
312 812 760 139 770 119 893 749 744 9 311 019 259
049 853 431 272 025 244
1 167 231 122 617 826 814 383 333 745 752 425 359 644 116 869
066 437 794 016 225 008
1 277 165 949 154 877 009 672 353 903 649 917 976 421 500 078 412
677 313 135 925 670 669 751 482 618 110 097 349 579 634 471 310 423 244
924 044 901 288 931 317 636 131 921 994 748 725 025 758 025 727 359 309 931 349 073 545
960
