× a + k × b = k × ( a + b ) k × ( a + b ) = k × a + k × b k Chapitre : calcul littéral

Chapitre : calcul littéral

Une expression littérale est comme une formule dans laquelle il y a une ou plusieurs lettres représentant un ou plusieurs nombres. ( L×l ; 2 ( L + l) , 4c ,.... ).

Les lettres a et b seront souvent utilisées lorsque l'on parlera de règle de calcul, x pour les expression en général.

I Simplification d'écriture

Pour simplifier ou réduire une expression algébrique, on peut supprimer les signes inutiles ( + et - ; × devant une lettre ou une parenthèse).

Exemple : - 2 + ( - 5) = - 2 – 5

2 × a = 2 a 5×(4 – 1) = 5 ( 4 – 1 ) ( rappel vocabulaire facteurs termes) Remarque : x = 1 × x = 1 x ( on n'utilisera jamais cette dernière écriture )

0 x = 0 × x = 0 ( on n'utilisera la première écriture ) On utilisera aussi les puissances:

a×a = a² a×a×a = a³

Exemple : 3² = 3×3=9 2³=2×2×2=8

Lorsque l'on demande de réduire une expression (ou simplifier ), il faut aussi regrouper les termes pouvant l'être.

Exemple : 5 x + 2 x² + 4 – 2x + 8 = 2 x² + 5 x – 2 x + 4 + 8 = 2 x + 2x + 10

Les parenthèses inutiles peuvent aussi être supprimées ( si elles sont précédée du signe + ou s'il n'y a que des produits de nombres.

Exemple : 2 + (3 – 5 ) = 2 + 3 – 5 =0 -3 + ( a – 2) = - 3 + a – 2 5×2×8=5×2×8 2×5×a=2×5×a=10a

Pour supprimer des parenthèses précédées du signe – on utilise la règle : l'opposée d'une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes.

Exemple : 2 - ( - 5 + 6 ) = 2 + 5 – 6

II Substitution

La substitution consiste à remplacer, dans une expression littérale, les lettres par des nombres.

Exemple : A = 5 x – 1

Calculer A si x = 3. A = 5 × 3 – 1 = 15 – 1 = 14 Calculer A si x = 0. A = 5 × 0 – 1 = – 1

Calculer A si x = -3. A = 5 × (-3) – 1 = -15 – 1 = -16 Piège à éviter : avec x²

Si B = x² + 3 , si on remplace x par -2 alors B = (-2)² + 3 = (-2) × (-2) + 3 = 4 + 3 = 7

III Transformation une parenthèse

1) Développement a b

Deux façons de calculer l'aire d'un rectangle suivant : k

c'est la formule de distributivité ( à gauche) Exemples :

5 ( 2 + x ) = 5 × 2 + 5 × x = 10 + 5 x - 2 ( x + 3 ) = - 2 × x + ( - 2 ) × 3 = - 2x – 6 3 ( x – 4 ) = 3 × x + 3 × ( – 4 ) = 3 x – 12

– 3 ( x – 4 ) = –3 × x + ( –3 ) × ( – 4 ) = –3 x + 12 ( - 5 + x ) × 3 = – 5 × 3 + x × 3 = - 15 + 3x

2) Factorisation

C'est le contraire du développement : on passe d'une somme à un produit de facteurs.

La formule est la même mais employée dans le sens inverse:

Exemples :

k × ( a + b ) = k× a + k × b

k × a + k × b = k × ( a + b )

5 x + 3 x = ( 5 + 3 ) x Méthode : souligner le facteur commun.

20 x + 8 = 4 × 5 x + 4 × 2 = 4 ( 5 x + 2 ) puis recopier ce qui n'est pas souligner entre

12 - 3 x = 3 × 4 – 3 × x = 3 ( 4 – x ) parenthèses

IV Développement double

Conjecturer la formule :

( x + 3 ) ( 2 x + 1 ) = x×2x132x1

= x×2xx×13×2x3×1

= 2x²x6x3 = 2x²7x3

Formule de la double distributivité :

( a + b ) ( c + d ) =a c + a d + b c + b d

Méthode : on étudie les signes à part.

Exemples :

( a - b ) ( c - d ) = a c - a d - b c + b d

( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) = 3x×2x3x×5–1×2x –1×5 = 6x²15x –2x –5

= 6x²13x –5 Mélange :

- ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) = - [ ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) ]

= - ( 6x²13x –5)

= –6x²–13x15

2 ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) = 2 [ ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) ]

= 2 ( _6x²_{13x –5} )

= 2×6x²2×13x –2×5 = _12x²26x –10