Chapitre : calcul littéral
Une expression littérale est comme une formule dans laquelle il y a une ou plusieurs lettres représentant un ou plusieurs nombres. ( L×l ; 2 ( L + l) , 4c ,.... ).
Les lettres a et b seront souvent utilisées lorsque l'on parlera de règle de calcul, x pour les expression en général.
I Simplification d'écriture
Pour simplifier ou réduire une expression algébrique, on peut supprimer les signes inutiles ( + et - ; × devant une lettre ou une parenthèse).
Exemple : - 2 + ( - 5) = - 2 – 5
2 × a = 2 a 5×(4 – 1) = 5 ( 4 – 1 ) ( rappel vocabulaire facteurs termes) Remarque : x = 1 × x = 1 x ( on n'utilisera jamais cette dernière écriture )
0 x = 0 × x = 0 ( on n'utilisera la première écriture ) On utilisera aussi les puissances:
a×a = a2 a×a×a = a3
Exemple : 3² = 3×3=9 23=2×2×2=8
Lorsque l'on demande de réduire une expression (ou simplifier ), il faut aussi regrouper les termes pouvant l'être.
Exemple : 5 x + 2 x² + 4 – 2x + 8 = 2 x² + 5 x – 2 x + 4 + 8 = 2 x + 2x + 10
Les parenthèses inutiles peuvent aussi être supprimées ( si elles sont précédée du signe + ou s'il n'y a que des produits de nombres.
Exemple : 2 + (3 – 5 ) = 2 + 3 – 5 =0 -3 + ( a – 2) = - 3 + a – 2 5×2×8=5×2×8 2×5×a=2×5×a=10a
Pour supprimer des parenthèses précédées du signe – on utilise la règle : l'opposée d'une somme algébrique est égal à la somme des opposés de chacun de ses termes.
Exemple : 2 - ( - 5 + 6 ) = 2 + 5 – 6
II Substitution
La substitution consiste à remplacer, dans une expression littérale, les lettres par des nombres.
Exemple : A = 5 x – 1
Calculer A si x = 3. A = 5 × 3 – 1 = 15 – 1 = 14 Calculer A si x = 0. A = 5 × 0 – 1 = – 1
Calculer A si x = -3. A = 5 × (-3) – 1 = -15 – 1 = -16 Piège à éviter : avec x²
Si B = x² + 3 , si on remplace x par -2 alors B = (-2)² + 3 = (-2) × (-2) + 3 = 4 + 3 = 7
III Transformation une parenthèse
1) Développement a b
Deux façons de calculer l'aire d'un rectangle suivant : k
c'est la formule de distributivité ( à gauche) Exemples :
5 ( 2 + x ) = 5 × 2 + 5 × x = 10 + 5 x - 2 ( x + 3 ) = - 2 × x + ( - 2 ) × 3 = - 2x – 6 3 ( x – 4 ) = 3 × x + 3 × ( – 4 ) = 3 x – 12
– 3 ( x – 4 ) = –3 × x + ( –3 ) × ( – 4 ) = –3 x + 12 ( - 5 + x ) × 3 = – 5 × 3 + x × 3 = - 15 + 3x
2) Factorisation
C'est le contraire du développement : on passe d'une somme à un produit de facteurs.
La formule est la même mais employée dans le sens inverse:
Exemples :
k × ( a + b ) = k× a + k × b
k × a + k × b = k × ( a + b )
5 x + 3 x = ( 5 + 3 ) x Méthode : souligner le facteur commun.
20 x + 8 = 4 × 5 x + 4 × 2 = 4 ( 5 x + 2 ) puis recopier ce qui n'est pas souligner entre
12 - 3 x = 3 × 4 – 3 × x = 3 ( 4 – x ) parenthèses
IV Développement double
Conjecturer la formule :
( x + 3 ) ( 2 x + 1 ) = x×2x132x1
= x×2xx×13×2x3×1
= 2x2x6x3 = 2x27x3
Formule de la double distributivité :
( a + b ) ( c + d ) =a c + a d + b c + b d
Méthode : on étudie les signes à part.
Exemples :
( a - b ) ( c - d ) = a c - a d - b c + b d
( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) = 3x×2x3x×5–1×2x –1×5 = 6x215x –2x –5
= 6x213x –5 Mélange :
- ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) = - [ ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) ]
= - ( 6x213x –5)
= –6x2–13x15
2 ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) = 2 [ ( 3 x – 1 ) ( 2 x + 5 ) ]
= 2 ( 6x213x –5 )
= 2×6x22×13x –2×5 = 12x226x –10
