CHAPITRE 5 : CALCUL LITTÉRAL
Objectifs :
• [3.220] Factoriser des expressions algébriques dans lesquelles le facteur est apparent
• [3.221] Connaître les identités remarquables
• [3.222] Développer en utilisant une identité remarquable sur des exemples numériques ou littéraux.
• [3.223] Factoriser en utilisant une identité remarquable sur des exemples numériques ou littéraux.
I.
Rappels
On obtient une somme quand on effectue une addition.
On obtient une différence quand on effectue une soustraction.
On obtient un produit quand on effectue une multiplication.
On obtient un quotient quand on effectue une division.
La dernière opération effectuée dans une suite de calculs donne le nom de l'expression.
Exemple :
L'expression C = (3x + 5)(2x - 3) est un produit.
L'expression D = 2x + 4(x-3) est une somme.
Développer, c'est transformer un produit en une somme ou une différence : k
ab
=kakb
ab
cd
=acadbcbd Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit : ka−kb=k
a−b
Exemples :
2
3 x5
=2×3 x2×5=6 x10−4
7−2 x
=−4×7−
−4
×2 x=−288 x
3 x−5
2 x−3
=3 x×2 x−3 x×3−5×2 x−5×
−3
=6 x2−9 x−10 x15=6 x2−19 x15II.
Développer avec les identités remarquables a)
Carré d'une somme
Pour tous nombres a et b, on a :
ab
2=a22 abb2Exemple :
2 x3
2=
2 x
22×2 x×332=4 x212 x9b)
Carré d'une différence
Pour tous nombres a et b, on a :
a−b
2=a2−2 abb2Exemple :
3 x−5
2=
3 x
2−2×3 x×552=9 x2−30 x25c)
Produit de la somme par la différence
Pour tous nombre a et b, on a :
ab
a−b
=a2−b2Exemple :
4 x7
4 x−7
=
4 x
2−72=16 x2−49III. Factoriser a)
En utilisant un facteur commun Quels que soient les nombres k, a et b, on écrit :
k×ak×b=k×
ab
et k×a−k×b=k×
a−b
.Exemple 1 : Factoriser l'expression A = 3 y21 A = 3×y3×7
A = 3
y7
Exemple 2 : Factoriser l'expression B = 2 xxy B = 2×xx×y
B = x
2y
Exemple 3 : Factoriser l'expression C =
2 x5
3 x7
2 x5
6 x1
C =
2 x5 [
3 x7
6 x1 ]
C =
2 x5
9 x8
Exemple 4 : Factoriser l'expression D =
9 x−4
5 x6
−
9 x−4
3 x11
D =
9 x−4 [
5 x6
−
3 x11 ]
D =
9 x−4
5 x6−3 x−11
D =
9 x−4
2 x−5
Exemple 5 : Factoriser l'expression E =
5 x−7
9 x−2
−
5 x−7
2E =
5 x−7 [
9 x−2
−
5 x−7 ]
E =
5 x−7
9 x−2−5 x7
E =
5 x−7
4 x5
b)
Avec les identités remarquables Pour tous nombres a et b, on a :
a22 abb2=
ab
2a2−2 abb2=
a−b
2a2−b2=
ab
a−b
Exemple 1 : Factoriser l'expression A = x26 x9 A = x22×x×332
A =
x3
2Exemple 2 : Factoriser l'expression B = 25 x2−20 x4 B =
5 x
2−2×5 x×222B =
5 x−2
2Exemple 3 : Factoriser l'expression C = 64 x2−49 C =
8 x
2−72C =
