Séquence 8 : Calcul littéral 4ème Budapest Attendus de fin de cycle :
Utiliser le calcul littéral Objectifs de la séquence :
Produire et utiliser une expression littérale.
Connaitre la distributivité ; développer, factoriser et réduire une expression.
Prouver ou réfuter une égalité entre deux expressions.
Plan de la séquence :
I- Expression littérale.
1) Définition
2) simplifier une expression littérale
3) Calculer la valeur d’une expression littérale.
II- Développer un produit Propriété Définition
III- Réduire une expression littérale 1) Définition
2) Méthode
IV- Factoriser une somme ou une différence 1) Définition
2) Propriété
Séquence 8 : Calcul littéral 4ème Budapest
Faire les questions flash P162 indigo et l’activité « objectif 1 » Faire l’activité 1 P 162
Application directe : Faire les questions flash : 1, 2 P 166
I- Expression littérale
1) Définition :
Une expression littérale est une expression mathématique qui comporte une ou plusieurs lettres.
Ces lettres désignent des nombres.
Exemple :
L’aire 𝐴 d’un triangle rectangle de côtés 𝐿 et 𝑙 est donné par l’expression littérale :
𝐴 =
𝐿+𝑙2
2) simplifier une expression littérale:
Dans une expression littérale on peut supprimer le signe × lorsqu’il est placé:
Devant ou derrière une lettre.
Devant ou derrière une parenthèse.
Exemple :
8 × a = 8a
a × 2 = 2a et non a2
b × c = bc
7 × (𝑥 + 4) = 7 (𝑥 + 4) se lit « 7 facteur de + 4 )
On ne peut pas supprimer le signe × entre deux nombres : 3 × 5 ≠ 35
Cas particulier :
1 × a = a plutôt que 1a
0 × a = 0 plutôt que 0a
a × a = a² se lit « a au carré »
a × a × a = a3 se lit « a au cube »
Exemple :
7 × 7 = 7² = 19
(-3) × (-3) = (-3)² = 9
6 × 6 × 6 = 63
(-2) × (-2) × (-2) = (-2)3
Pour simplifier un produit de plusieurs facteurs, on peut modifier l’ordre de ses facteurs.
Exemple : Réduire l’expression A A = 3 × a × 7 = 3 × 7 × a = 21 × a = 21a
3) Calculer la valeur d’une expression littérale.
Calculer la valeur d’une expression littérale, c’est attribuer un nombre à chaque lettre de l’expression afin d’effectuer le calcul.
Exemple :
Soit l’expression littérale 𝐵 = −𝑥2+ 3(𝑥 + 6) + 4𝑦 Calculer l’expression B pour 𝑥 = −4 𝑒𝑡 𝑦 = −8
𝐵 = −𝑥2+ 3 × (𝑥 + 6) + 4× 𝑦 on écrit les signes × sous-entendus
𝐵 = −(−4)2+ 3 × ((−4)+ 6) + 4× (−8) on remplace 𝑥 𝑝𝑎𝑟 − 4 𝑒𝑡 𝑦 𝑝𝑎𝑟 − 8 en ajoutant si besoin des parenthèses. On effectue les calculs en respectant les priorités.
B = - 42.
Tâche intermédiaire : faire les exercices de 3 à 9 P 166 et de 2 à 8 P100 Myriade Réinvestissement : Faire les exercices 74 P 108 et 78 P 109 Myriade
Faire l’activité 2 P 162 indigo : découvrir la distributivité de multiplication sur l’addition et la soustraction.
Application directe : Faire les questions flash 10, 11 P 166 indigo.
II- Développer un produit :
Propriété :
La multiplication est distributive par rapport à l’addition et la soustraction, ce qui signifie que : Quels que soient les nombres k, a et b on a :
𝑘(𝑎 + 𝑏) =𝑘 𝑎 +𝑘 𝑏 𝑘(𝑎 − 𝑏) =𝑘 𝑎 −𝑘 𝑏 Produit somme Produit somme Développer Développer
Définition : Développer une expression littérale, c’est transformer un produit en somme ou en différence.
Exemple :
Développer les expressions suivantes : 𝐴 = 7(𝑥 + 5)
𝐴 = 7 × (𝑥 + 5) ; Cette expression est un produit
𝐴 = 7 × 𝑥 + 7 × 5 ; On distribue le 7 à chacun des termes de la parenthèse, on obtient une somme.
𝐴 = 7 𝑥 + 35 ; On simplifie cette somme.
𝐵 = (8𝑥 − 4)×2𝑥 ; Cette expression est le produit de la différence de 8𝑥 𝑒𝑡 4, 𝑝𝑎𝑟 2𝑥 𝐴 = 8𝑥 ×2𝑥 − 2𝑥 ×4; On applique la distributivité
𝐴 = 16 𝑥2− 8𝑥 ; On obtient la somme de 16 x² et de (–8x).
On peut dire aussi qu’on obtient une différence de 16𝑥² 𝑒𝑡 𝑑𝑒 8𝑥.
Tâches intermédiaires : Faire les exercices 12 à 15 P 167 indigo Réinvestissement : Faire les exercices 28 ; 33 P 168 ; 35 P 169 indigo
Faire l’activité 3 P 97 Myriade : Réduire une expression littérale
III- Réduire une expression littérale
1) Définition :
Réduire une expression littérale, c’est l’écrire sous la forme d’une somme algébrique ayant le moins de termes possible.
2) Méthode :
On effectue toutes les multiplications qu’il est possible de faire.
On regroupe les termes de même nature (en factorisant)
Les termes de même nature sont les termes qui ont la même partie littérale (2x² et -7x² sont de même nature, alors que 2x² et -7x ne le sont pas).
Exemple :
Réduire l’expression suivante : 𝐹 = 3 + 2𝑥 × 7 – 4𝑥
𝐹 = 3 +2×7×𝑥 – 4×𝑥 𝐹 = 3 +14𝑥 – 4𝑥
𝐹 = 3 +10𝑥
Développer puis réduire l’expression suivante :
𝐺 = 9 − 3(4 − 𝑥) − 5𝑥 𝐺 = 9 −3 × (4 − 𝑥)− 5𝑥
𝐺 = 9 −3 × 4 − (−3) × 𝑥− 5𝑥 ; On a développé le deuxième terme
𝐺 = 9− 12 + 3𝑥− 5𝑥 ; On a effectué les multiplications possibles et simplifier l’expression.
𝐺 =9 − 12+ 3𝑥 − 5𝑥 ; On va regrouper les termes de même nature 𝐺 =−3− 2𝑥 .
Tâches intermédiaires : Faire les exercices 16, 17, 18 P 167 indigo
Réinvestissement : Faire les exercices 30 ; 34 P 168 indigo 38 ; 39 P 169 indigo
Faire l’activité 3 P 163 indigo : découvrir la factorisation
Application directe : Faire les questions flash 19, 20 P 166 indigo.
IV- Factorisation :
1) Définition :
Factoriser une expression littérale, c’est transformer une somme ou en différence en un produit.
2) Règle :
𝑘 𝑎 +𝑘 𝑏 = 𝑘(𝑎 + 𝑏) 𝑘 𝑎 −𝑘 𝑏 =𝑘(𝑎 − 𝑏) Somme Produit Somme Produit Factoriser Factoriser
Exemple :
Factoriser les expressions suivantes :
𝐶 = 3𝑥 + 6 ; On remarque que 6 = 3 × 2 et que 3 est un facteur commun ; Cette expression est une somme
𝐶 = 3× 𝑥 + 3× 2 ; On applique la distributivité.
𝐶 = 3(𝑥 + 2) ; On obtient un produit.
𝐷 = 7𝑥 − 2𝑥 𝐷 = 7 × 𝑥− 2 ×𝑥 𝐷 = 𝑥 (7 − 2) 𝐷 = 5𝑥
Tâches intermédiaires : Faire les exercices 21 à 26 P 167 indigo Réinvestissement : Faire les exercices 29 ; 31 P 168 indigo
