Calcul littéral

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Classeur de synthèses Thème C - Fiche C1

Calcul littéral

Expression littérale.

Définition : Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par une lettre.

Exemples : • L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l peut s’écrire L × l On dit que l’on a exprimé l’aire du rectangle en fonction de L et de l.

C’est en quelque sorte, une formule.

• Exprimons le carré de y en fonction de y : y × y = y²

Convention d’écriture.

On peut ne pas écrire le signe × devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples : 4 × a = 4 a 5(3 x – 2) = 5 × (3 × x – 2)

Vocabulaire.

Remarque : Une différence peut être vue comme une somme. En effet : 3 – 7 = 3 + (–7) De même, un quotient peut être vu comme un produit.

Une expression littérale est donc soit une somme, soit un produit.

Collège Jacques Prévert – Romillé Mathématiques

Une expression littérale est :

 une somme si la dernière opération à effectuer est une addition.

 une différence si la dernière opération à effectuer est une soustraction.

 un produit si la dernière opération à effectuer est une multiplication.

 un quotient si la dernière opération à effectuer est une division.

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Réduire une expression algébrique

Réduire une somme.

Il s'agit de regrouper les termes de la même famille.

On trouve en général, trois types de familles, les x les x² et les constantes (les nombres

« tous seuls ») mais il en existe bien d’autres.

Exemples :

Réduire un produit.

On peut toujours multiplier. Il s'agit de déterminer le signe (à l’aide de la règle des signes), d'effectuer la multiplication sur les nombres, puis sur les lettres.

Exemples :

A = 5 x + 2 – 3 x – 6

On repère les termes de la même famille en n’oubliant pas le signe devant.

A = 5 x – 3 x + 2 – 6

On regroupe les termes de la même famille.

A = 2 x – 4

On calcule ensemble les termes de la même famille.

B = 4 x ² – 3 x + 12 + 2 x ² – 9 x – 10

On repère les termes de la même famille en n’oubliant pas le signe devant.

B = 4 x ² + 2 x ² – 3 x – 9 x + 12 – 10

On regroupe les termes de la même famille.

B = 6 x ² – 12 x + 2

On calcule ensemble les termes de la même famille.

A = 2 x 7 A = 27 x A = 14  x A = 14 x

B = 5b(–2b) B = –52bb B = –10b² B = –10b²

C = –2a(–4a)

C = + 24aa

C = + 8a²

C = 8a²

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Supprimer des parenthèses

On supprime les parenthèses tout simplement si elles sont précédées d'un signe +, sinon, quand il y a un signe – devant, on doit changer les signes de tous les termes entre

parenthèses !

Exemples :

A = – (– x + 3y) + ( x – 2y)

A = + x – 3y + x – 2y

B = 25 – (2a – 3)

B = 25 – 2a + 3

C = (5 + x ) – (7 x – 5)

C = 5 + x – 7 x + 5

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Développer

Définition : Développer c’est transformer un produit en une somme.

Développer à l’aide de la distributivité simple.

Formule : Quels que soient les nombres a, b, k, on a :

k  (a + b) = k  a + k  b

Exemples :

Développer à l’aide de la distributivité double.

Formule : Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a :

(a + b) (c + d) = a  c + a  d + b  c + b  d

Exemple :

A = 4×(2 x – 1) A = 4×2 x – 4×1 A = 8 x – 4

B = –5(7 – 3 x ) B = –5×7 + 5×3 x B = –35 + 15 x

A = ( x + 3) × ( x – 2)

A = x × x – 2× x + 3× x – 3×2 A = x ² – 2 x + 3 x – 6

A = x ² + 1 x – 6 A = x ² + x – 6

 x -2

x x ² -2 x

3 3 x -6

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Factoriser

Définition : Factoriser c’est transformer une somme en un produit.

Factoriser à partir d’un facteur commun.

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Factoriser à partir d’une identité remarquable.

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Classeur de synthèse Thème C- fiche C6

EQUATIONS Équation du premier degré à une inconnue

➢ Une équation est dite du premier degré à une inconnuexlorsqu'elle peut s'écrire sous la forme ax+b=cx+d ( où a, b, c et d désignent des nombres ).

➢ Une solution de l'équation est une valeur de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie.

➢ Résoudre une équation, consiste à trouver toutes les solutions de cette équation.

Exemple:

Pour l'équation 3x –5=5x –9 une solution est 2.

En effet pour x=2

3x –5=3×2–5=6–5=1 et 5x –9=5×2–9=10–9=1 Donc l'égalité 3x –5=5x –9 est vraie pour x=2

Égalités et opérations

Exemples:

● Si x est un nombre tel que: x –8=4 alors en ajoutant 8 à chaque membre: x –88=48 c'est à dire: x=12

● Si t est un nombre tel que 3t=2t –4 alors en soustrayant 2t à chaque membre:

3t –2t=2t –4–2t c'est à dire: t=–4

Exemples:

● Si x est un nombre tel que: ⁻¹

3 x=5alors en multipliant par –3 chaque membre:

−1

3 x×(−3)=5×(−3) c'est à dire: x=−15

● Si m est un nombre tel que 3m=7,5 alors en divisant par 3 chaque membre: ^3m₃ =7,5 3 c'est à dire: m=2,5

Lorsque l'on additionne ou on soustrait un même nombre relatif aux deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité.

Si a=b alors ac=bc Si a=b alors a – c=b – c

Lorsque l'on multiplie ou on divise par un même nombre relatif non nul les deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité.

Si â=b alors â×c=b×c Si â=b et c≠0 alors â_c⁼^b_c

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Classeur de synthèse Thème C- fiche C6

Résoudre une équation a une inconnue

Résoudre une équation, c’est déterminer le ou les éventuelles valeurs des inconnues pour lesquelles l’égalité est vérifiée entre les deux membres. Pour cela on transforme cette équation en une succession d’équations ayant les mêmes solutions que l’équation initiale de façon à isoler le ou les inconnues.

Exemple:

On considère l'équation d'inconnue x: 7x3=3x –2

1- On rassemble tous les termes en x dans un même membre de l'équation.

7x3–3x=3x –2–3x 4x3=–2

2- On rassemble tous les termes constants dans l'autre membre de l'équation.

4x3–3=–2–3 4x=–5

3- On obtient la valeur de x. 4x

4=–5 4 x=–5

4 La seule valeur possible de x dans cette dernière équation est ^–⁵₄ 4- On conclut: L'équation admet une solution: ^–⁵₄

RESOUDRE UN PROBLEME Énoncé:

Deux amis, Pierre et Saïd collectionnent les timbres.*

« J'en possède 40 de moins que toi » dit Pierre.

« J'en ai 3 fois plus que toi » répond Saïd.

Combien de timbres possède Pierre?

Méthode:

1- Choix de l'inconnue

Soit x le nombre de timbres que possède Pierre.

2- Mise en équation x+40=3x

3- Résolution de l'équation x+40=3x

x+40– x=3x – x 40=2x

40 2 =2x

2 20=x 4- Conclusion

Pierre possède 20 timbres.

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Classeur de synthèse Thème C

CALCUL LITTERAL DEVELOPPER ET REDUIRE UNE EXPRESSION LITTERALE Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale revient à l'écrire avec le moins de termes possibles.

Exemples

● 3x+4x=(3+4)x=7x

● 4x²–7x²+x²=(4–7+1)x²=–2x²

● 5a²–4a –1+2a²+a+3=7a²–3a+2 Remarque

On ne peut pas réduire l'expression 7a²-3a+2 car tous ses termes ont des parties littérales différentes.

Règle de double distributivité Propriété

a, b, c et d désignent des nombres relatifs.

(a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d=ac+ad+bc+bd Exemples

Développer et réduire les expressions suivantes

J=(x+2)(y+7) K=(b+5)(2b−7)

J=x×y+x×7+2×y+2×7 K=b×2b+b×(−7)+5×2b+5×(−7)

J=xy+7x+2y+14 K=2b²−7b+10b−35

K=2b²+3b−35 L=(a –2)(–3+a)

L=a×(–3)+a×a+(–2)×(–3)+(–2)×a L=–3a+a²+6–2a

L=a²–5a+6

FACTORISER UNE EXPRESSION LITTERALE k, a et b désignent des nombres relatifs.

ka+kb=k(a+b) ka – kb=k(a –b)

Quand on transforme une somme ou une différence en un produit, on dit que l'on factorise. k est un facteur commun aux termes de la somme ou de la différence.

Exemples

Factoriser H=–2y –14 Factoriser I=3x –3y H=–2×y+(–2)×7 I=3×x –3×y

H=–2(y+7) I=3(x – y)

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Classeur de synthèses Thème C - Fiche ….

Équations

Définition :

Une équation est une égalité dans laquelle un nombre (ou des nombres) est inconnu(s).

Ce nombre est souvent désigné par la lettre x.

Exemple : a) 2x+ 3 = 5x – 6 est une équation où l'inconnue est désignée par la lettre x.

b) 2x² – 5 = x + 10 est une équation.

Cette équation a deux membres : 2x² – 5 (membre de gauche) et x + 10 (membre de droite).

c) 2x + 3y – 5 = 0 est une équation à deux inconnues.

Résoudre une équation :

Résoudre une équation signifie trouver, s’il en existe, la (ou les) valeur(s) du nombre inconnu qui rend(ent) l’égalité vraie.

Toute valeur qui rend l’égalité vraie s’appelle une solution de l’équation.

Exemple : 3 est-il une solution de l'équation 2x² – 5 = x + 10 ?

Pour x = 3, on calcule séparément 2x² – 5 et x + 10 : 2x² – 5 = 2 × 3² – 5 = 2 × 9 – 5 = 13 x + 10 = 3 + 10 = 13

On constate qu'il y a égalité donc 3 est une solution de l'équation 2x² – 5 = x + 10.

On ne change pas une égalité

* si on ajoute ou si on soustrait à ses deux membres un même nombre.

* si on multiplie ou si on divise ses deux membres par un même nombre non nul.

Exemple : Méthode 1 Méthode 2

2x + 3 = 5x – 6

5>2 donc je choisis de mettre tous les terme en x dans le membre de droite.

3 + 6 = 5x – 2x Je réduis chaque membre

9 = 3x 9

3 = x 3 = x

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Résolution d'un problème par une mise en équation :

Mettre en équation un problème, c'est traduire son énoncé par une égalité mathématique.

Exemple 1 : Trouve le nombre tel que son quintuple augmenté de 7 soit égal à 3.

Étape n°1 :

Choix de l'inconnue Soit n le nombre cherché. C'est à vous de choisir la lettre en général.

Étape n°2 :

Traduction de l'énoncé Le quintuple du nombre

augmenté de 7 est 5n + 7. On exprime les informations données dans l'énoncé en fonction de n.

Mise en équation 5n + 7 = 3 La phrase de l'énoncé se traduit ainsi.

Étape n°3 :

Résolution de l'équation 5n + 7 5n + 7 – 7 5n

n

= 3

= 3 – 7+x

= – 4+x

=⁻₅⁴

On résout l'équation à l'aide des propriétés

Étape n°4 :

Vérification que la valeur trouvée est solution du problème

5×



⁻ ⁴5



^⁷⁼⁻⁴^⁷⁼³ On calcule. Le quintuple de⁻ ⁴₅ augmenté de 7 est égal à 3.

Étape n°5 : Conclusion Le nombre cherché est donc⁻⁴₅. Exemple 2 :

Trois amies se partagent 1 200 € gagnés à la loterie.

Valérie empoche 150 € de plus que Béatrice et Béatrice touche le double de Florence.

Combien Florence a-t-elle gagné ?

1. On cherche la somme gagnée par Florence. On décide de la nommer s 2. On traduit les informations : • Florence a gagné s euros à la loterie.

• Béatrice a gagné le double de Florence donc : 2s euros.

• Valérie a gagné 150 € de plus que Béatrice donc : 2s + 150 euros.

À elles trois, elles ont gagné la somme de 1 200 €.

On peut donc écrire une équation qui décrit cette égalité : s + 2s + 2s + 150 = 1 200 3. On résout l’équation : s + 2s + 2s + 150 = 1 200

5s + 150 = 1 200 5s = 1 200 − 15

5s = 1 050 s = 1 050

5 donc s = 210

La solution de l’équation est 210.

4. La valeur trouvée semble juste. On vérifie en calculant la part de chacune :

si Florence a 210, alors Béatrice qui a le double aura 420 et Valérie : 420 + 150 = 570.

On additionne les trois nombres 210 + 420 + 570 = 1 200. La solution marche bien.

5. Florence a gagné 210 €.

Source : manuel sésamath et site « académie en ligne »