Enoncé D1887 (Diophante) Rond, rond et moins rond
Soient le triangle ABC, un cercle (Γ) passant par B etC, et le point M variable sur (Γ).
Les pointsM0 etM00 sont les symétriques deM par rapport àABetAC.
Q1 Déterminer le lieu du milieuN de M0M00.
Q2 On définit un point P par l’homothétie M P =kM N. Montrer que le lieu de P est une ellipse dont on précisera le centre et les axes.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
M0 etM00 sont sur le cercle de centreAet de rayon AM; dans le triangle isocèle AM0M00, la médiane AN est aussi hauteur et bissectrice.
2(AB, AN) = (AB, AM0) + (AB, AM00) =
(AM, AB) + (AB, AC) + (AM, AC) = 2(AM, AC).
Les angles (AB, AC) et (AM, AN) ont donc mêmes bissectrices.
L’angle 2(AM0, AN) = (AM0, AM00) = 2(AB, AC), d’où AN = AMcosA. Le point N est le transformé du point M par une homothé- tieH de rapport cosAsuivie d’une symétrieS par rapport à la bissectrice intérieure de l’angle (AB, AC).
Le point B de (Γ) a pour transformé le point B0 de AC tel que AB0 = ABcosA, c’est le pied de la hauteur issue deB dans le triangleABC; de même C a pour transformé le pied C0 de la hauteurCC0. Quand le point M parcourt (Γ), le point N parcourt un cercle (Γ0) passant par B0 etC0, dont le rayon est RcosA si celui de (Γ) estR.
Question 2
Le centreO0 de (Γ0) est le transformé de O parH suivie de S. DeM P = k.M N (vectoriellement) on tire OP = OM +k(OO0 +O0N −OM) = (1−k)OM+OO00+k.O0N, en définissant le pointO00parOO00=k.OO0. AlorsO00P = (1−k)OM+k.O0N.
A deux points M1, M2 diamétralement opposés sur (Γ) correspondent N1, N2 diamétralement opposés sur (Γ0) etP1, P2 symétriques par rapport àO00; ainsiO00 est centre de symétrie du lieu deP.
Je prends pour axesAx, Ay les bissectrices de l’angle (AB, AC).
Soit M0 un point de (Γ) tel que OM0 est parallèle à Ax et de même sens, etN0 son homologue sur (Γ0). Pour un point courantM de (Γ), soit θ= (OM0, OM).
Du fait de la symétrie S, (O0N0, O0N) = −θ, et le vecteur O00P a pour projectionsX =Rcosθ(1−k+kcosA), Y =Rsinθ(1−k−kcosA).
Le lieu de P est donc une ellipse de centre O00, d’axes parallèles aux bis- sectrices de l’angleA, et de demi-axes R(1−k±kcosA).
