Montrer que P(S

Examen de Th´eorie spectrale, automne 2004

Exercice I (5 points)

On d´esigne par Q le projecteur orthogonal de L₂(0,1) sur le sous-espace des fonctions d’int´egrale nulle, qui est d´efini par

∀f ∈L₂(0,1), ∀x∈[0,1], (Qf)(x) =f(x)− Z ₁

0

f(t)dt.

On consid`ere l’op´erateur A = Q P∈ L(L<sub>2</sub>(0,1)), o`u P est d´efini par

∀f ∈L₂(0,1), ∀x∈[0,1], (Pf)(x) = Z _x

0

f(t)dt.

Diagonaliser l’op´erateur hermitien compact T = A^∗A. Montrer que T est un op´erateur de Hilbert- Schmidt, calculer son noyau k(x, y) et exprimer ce noyau `a partir des fonctions propres.

Exercice II (7 points)

On d´esigne par H un espace de Hilbert complexe ; si S∈ L(H) et kSk<1, on pose

P(S) = IdH+

+∞X

n=1

Sⁿ+

+∞X

n=1

(S^∗)ⁿ ∈ L(H).

a. Montrer que

P(S) = (Id_H−S^∗)⁻¹(Id_H−S^∗S)(Id_H−S)⁻¹; en d´eduire que P(S) est un op´erateur hermitien positif.

b. On suppose que T ∈ L(H) et kTk < 1 ; soit Q = P_N

j=0c_jX^j un polynˆome `a coefficients complexes ; montrer que

Q(T) = XN j=0

c_jT^j = Z _2π

0

Q(e^iθ)P(e^−iθT) dθ 2π .

On pourra utiliser sans d´emonstration le fait suivant : si une suite (f_n) de fonctions continues de [a, b] dans un Banach Y tend vers f uniform´ement sur [a, b], alorsR_b

a fn(t)dttend vers R_b

af(t)dt dans l’espace Y.

c.Soient x, y∈H ; montrer que la fonctiong(θ) =hP(e^−iθT)x, xi est r´eelle positive, d’int´egrale

´egale `ahx, xipar rapport `a la mesuredθ/(2π) sur [0,2π] ; majorerhQ(T)x, yien utilisant Cauchy- Schwarz pour le produit scalairehP(e^−iθT)x, yi, et en d´eduire que

kQ(T)k_L(H)≤ kQk∞= max{|Q(e^iθ)|:θ∈[0,2π]}.

d. Montrer le mˆeme r´esultat sous l’hypoth`ese kTk ≤ 1. En d´eduire, quand kTk ≤ 1, que l’application Q→Q(T) se prolonge en un homomorphisme de A(D) dansL(H), o`u A(D) d´esigne l’alg`ebre des fonctions holomorphes dans le disque unit´e ouvert qui se prolongent en fonction continue sur le disque ferm´e.

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Exercice III (6 points)

On d´esigne par A une alg`ebre de Banach unitaire complexe, et on suppose donn´e un idempotent p∈A, p=p². On lui associe les sous-ensembles

C_p={a∈A :ap=pa}; A_p={a∈A :ap=pa=a}.

a.V´erifier que A_p peut ˆetre consid´er´ee comme une alg`ebre de Banach unitaire dont l’unit´e estp.

On poseq= 1A−p et pour a∈Cp on d´efinit ap=pa,aq =qa.

b. Soit b ∈ C_p; montrer que b est inversible dans A si et seulement si b_p etb_q sont inversibles, respectivement dans Apet Aq. Sia∈Cp, en d´eduire que le spectre deaest la r´eunion des spectres de a_p et a_q.

c.Maintenant A est une C^∗-alg`ebre eta∈A est un ´el´ement normal, dont le spectre est ´egal `a la r´eunion de deux compacts disjoints non vides P et Q du plan complexe ; on d´esigne parp=1_P(a) l’image de la fonction indicatrice 1P par le calcul fonctionnel associ´e `a a. Montrer que le spectre de a<sub>p</sub> est P, et celui de a<sub>q</sub> est Q. Montrer que le calcul fonctionnel associ´e `aa_p est donn´e par

Φ(f) =fe(a)p,

o`u feest n’importe quel prolongement de f ∈C(σ(ap)) en une fonction continue sur σ(a).

Exercice IV (12 points)

Dans cet exercice les fonctions sont r´eelles. On notera pour abr´eger, quand f ∈L₁(R) Z

f = Z

R

f(t)dt.

On dira qu’une fonction h continue surR admet uned´eriv´ee g´en´eralis´ee h⁰, si h⁰ est mesurable, int´egrable sur tout intervalle born´e, et v´erifie pour tousx, y∈R

h(y)−h(x) = Z _y

x

h⁰(t)dt.

On utilisera la formule d’int´egration par parties (IPP) d´emontr´ee en cours : si les fonctionsh et kadmettent des d´eriv´ees g´en´eralis´ees, on a pour tous a < b

Z _b

a

h(t)k⁰(t)dt= h

hk i_b

a− Z _b

a

h⁰(t)k(t)dt.

Dans le cas o`uk=ϕ∈ D(R), cette formule implique que Z

h ϕ⁰=− Z

h⁰ϕ.

On fixera une fonctionθ∈ D(R) `a support dans ]−2,2[, telle que 0≤θ≤1 et θ= 1 sur [−1,1].

Pour tout entiern≥1, on d´efinira θ_n parθ_n(x) =θ(x/n). Par abus de notation, on noterax la fonction identit´ex∈R→x, par exemple xf sera la fonctionx→xf(x). Parkfk₂on d´esignera la norme def dans L2(R).

a. Dans cette question pr´eliminaire, ε=±1 est fix´e ; on va montrer que sih admet une d´eriv´ee g´en´eralis´ee h⁰, si h eth⁰+εxh sont dans L2(R), alors h⁰ est dans L2(R), et plus pr´ecis´ement : il existe une constante C, ind´ependante de h, telle que

kh⁰k2≤C¡

khk2+kh⁰+εxhk2

¢. 2

a1.Montrer que pour tout entiern≥1,

¯¯

¯ Z

xh θ_nh⁰

¯¯

¯≤¡

1 +kx θ⁰k_∞¢ Z h²

2 .

a2. Montrer qu’il existe une constante τ > 0, ind´ependante de la fonction h, telle qu’en posant y=khk2+kh⁰+εxhk2, on ait pour tout entiern≥1

Z

θ²_nh⁰²≤ Z

θ_nh⁰²=hh⁰, θ_nh⁰i_L2(R) ≤τ y²+ykθ_nh⁰k₂.

En d´eduire quekθnh⁰k2≤(1 +τ)y, puis d´eduire le r´esultat annonc´e `a la question a.

b.On consid`ere l’espace H des fonctionsf admettant une d´eriv´ee g´en´eralis´eef⁰, telles quef,xf etf⁰ soient dans L2(R). On le munit de la norme kfkH d´efinie par

kfk²_H= Z ³

f⁰²+ (1 +x²)f²

´ .

On d´efinit un op´erateur (non born´e) T sur L₂(R) de la fa¸con suivante : son domaine est H, et pour toute fonctionf ∈dom(T) = H on pose Tf =f⁰+xf. Montrer que T est dens´ement d´efini et ferm´e. Montrer que H est un espace de Hilbert.

c. On suppose que f, g sont deux fonctions telles que f, f⁰, g, g⁰ ∈ L2(R) ; montrer que la suite (θ_ng)⁰ tend versg⁰ dans L₂(R) et en d´eduire que

Z

f g⁰=− Z

f⁰g.

D´eterminer l’adjoint de T ; montrer ensuite que le domaine de T^∗T est ´egal `a E ={f :f, x²f, f⁰, x f⁰, f⁰⁰∈L2(R)}.

d.Pour tout entier non consid`ere l’application qui associe `af ∈H la fonctionθ_nf. Montrer que cette application, vue comme application de H dans H¹₀¡

]−2n,2n[¢

, est born´ee de H dans H¹₀. En d´eduire que f →θ_nf, vue comme application de H dans L₂(R), est compacte de H dans L₂(R).

Montrer que pour tout entiern≥1, on a

°°f−θnf°°²

2≤ 1 n²

Z x²f².

En d´eduire que l’injection de H dans L₂(R) est compacte.

e. Montrer que S : f → −f⁰⁰+x²f est une bijection de E sur L₂(R) ; montrer qu’il existe une suite (λ_n) et une base orthonorm´ee (ϕ_n) de L₂(R) telles que

∀n, −ϕ⁰⁰_n+x²ϕ_n=λ_nϕ_n.

f. Montrer que le r´esultat de la question pr´ec´edente subsiste si on perturbe l’op´erateur S en S_v:f ∈E→ −f⁰⁰+ (x²+v)f, o`uv est ≥0 surRetv(x) =o(x<sup>2</sup>) `a l’infini.

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