ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 7 12 février 2018
faire deux exercices au choix
Exercice I.
On considère les matrices
A=
2 1 −2 1 0 0 0 1 0
P =
1 1 4 1 −1 2 1 1 1
Q= 1 6
−3 3 6 1 −3 2
2 0 −2
1. Montrer queQ=P−1. 2. Calculer D=QAP. 3. En déduireDn.
4. Montrer que ∀n∈N, An=P DnQ, et expliciterAn. Exercice II.
Soitf dénie sur R∗+ par f(x) =x−1 +ex−2x.
1. Montrer quef est une application bijective de R∗+ sur un intervalleJ que l'on précisera.
2. Déterminer le tableau de variations def−1. 3. Calculer f(1).
4. Calculer (f−1)0(1 e). Exercice III.
On considère la série numérique X
n≥1
1
n2. On noteSn sane somme partielle.
1. Vérier que ∀n≥2, 1 n − 1
n+ 1 ≤ 1
n2 ≤ 1 n−1 − 1
n. 2. Montrer alors que ∀n≥1, 3
2 − 1
n+ 1≤Sn≤2− 1 n. 3. En déduire que la série X
n≥1
1
n2 converge, et encadrer sa somme.
Exercice IV.
Si on observe une route pendant 2 minutes, on a75% de chance d'y voir passer au moins une voiture.
1. On observe cette route pendant 1 minute. Quelle probabilité a-t-on qu'au moins une voiture y passe ? 2. On observe cette route pendant 4 minutes. Quelle probabilité a-t-on qu'au moins une voiture y passe ? 3. Et si on reste 11 minutes ?
1/2
Exercice V.
Une urne U1 contient deux boules bleues, et quatre autres urnes contiennent une boule bleue et une boule rouge.
On choisit une urne au hasard et on tiren boules avec remise dans cette urne.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir une boule bleue au premier tirage ?
2. On a obtenu une boule bleue au premier tirage. Quelle est la probabilité qu'elle provienne deU1? 3. Quelle est la probabilité d'obtenir nboules bleues lors desnpremiers tirages ?
4. Ayant obtenunboules bleues lors desnpremiers tirages, quelle est la probabilitépnd'avoir choisiU1? 5. Calculer la limite de pn quandntend vers +∞.
6. Interpréter le résultat précédent.
2
