Université Abdelmalek Essaâdi Année Universitaire : 2018-2019 Faculté des Sciences de Tétouan S.M.A. (Semestre 6)
Département de Mathématiques T.D. de Probabilités 2 Série n°2
Exercice 1 :
Soit l’espace probabilisable (IR, B(IR)). On considère la fonction
f
définie de IR dans IR par : ( ) 00 0
e x si x
f x si x
où
α
est un réel positif non nul.Pour tout événement
A ϵ
B(IR), on pose ( ) ( ) P A
A f x dx. Montrer queP
est une mesure de probabilité sur (IR, B(IR)).Exercice 2 :
On donne la variable aléatoire continue
X
de densité de probabilitéf
X. On considère la variable aléatoireY
=kX
aveck
est un réel positif non nul. Trouver la fonction de densitéf
YdeY
et vérifier que c’est bien une densité de probabilité.Exercice 3 :
Sur (Ω,
A,
P) un espace probabilisé, on définit la variable aléatoire1
A indicatrice d’un événementA ϵ A
, par ( ) 1A 0
si A
si A
1 .
Donner la fonction de répartition de l’indicatrice
1
A d’un événementA
dont la probabilité est égale àp
.Exercice 4 :
Soit
X
une variable aléatoire qui prend les valeursx
1, x
2,…, x
n avec les probabilités respectivesp
1, p
2,…, p
n ; et soit un nombrea
tel quex
1≤ a ≤ x
n. On considère la variable aléatoireZ=min(X,a)
représentant le nombre minimal entre les valeurs de la variable aléatoireX
et du nombrea
. Trouver la fonction de répartition de la variable aléatoireZ
. Exercice 5:On dit qu’une variable aléatoire
X
est distribuée symétriquement autour dea
siP(X ≥ a+x) = P(X ≤ a ‒ x) , ꓯx.
Soit
X
une variable aléatoire symétrique autour dea
. Montrer que :1.
SiF
est la fonction de répartition de X, on a :F
(a ‒ x)=1‒F(a+x)+P(X= a+x).
2.
Si f
est la densité de la variable aléatoire continueX,
on a: f (a‒x)=f (a+x)
3.
E(X)=a.
Exercice 6:
Soit
X
une variable aléatoire continue de densité de probabilité :1 0
( ) 0
si x a
f x a
autrement
où
a
est un réel positif non nul.Donner les lois de probabilités des variables aléatoires :
