(D Du ur r ée é e 2 2 h he eu ur r es e s) ) I. Règle de L’Hospital :

Université Abdelmalek Essaâdi Année Universitaire 2009/2010 Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Filière : Sciences Éco. & Gestion Département de Statistique et Semestre : Premier (S1) Informatique Module : Méthodes Quantitatives 1

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(D Du ur r ée é e 2 2 h he eu ur r es e s) ) I. Règle de L’Hospital :

Calculer les limites suivantes, en utilisant la règle de l’Hospital :

1°) x

e

x

lim 1

2 0

−

→

2°)

x x

x

sin

cos lim 1

0

−

→

II. Théorème des valeurs intermédiaires :

Montrer que l’équation x

+ 3 x − 1 = 0 admet une solution unique sur [ ^{0, +∞} [ ^.

III. Théorème des accroissements finis :

1) Ecrire la formule des accroissements finis pour la fonction f ( t ) = Log t sur un intervalle [ ^{x , x + 1} ] ^{avec x > 0 .}

2) En déduire l’inégalité suivante : ] [ ( ) ( )

x x Log x

x Log

x 1

1 1 , 1

,

0 < + − <

∞ + +

∈

∀

IV. Dérivées successives :

1) Calculer la dérivée n ^ième de f ( x ) = sin x .

2) Donner, sans démonstration, la formule de Leibnitz pour le calcul de la dérivée n ^ième du produit de deux fonctions.

3) Calculer la dérivée n ^ième de la fonction g ( x ) = x

sin x .

V. Fonctions réciproques :

On considère la fonction f ( x ) = 1 + x sin x ^pour  



 π

∈ 0 , 2

x .

1) Montrer que f est strictement croissante sur  

  π , 2

0 .

2) Montrer que f admet une fonction réciproque f

.

Bon courage !