Couple de variables aléatoires
Prof. Mohamed El Merouani
Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de Mathématiques
2019/2020
Couple de variables aléatoires :
Définition :
Soit (Ω, A, P ) un espace probabilisé.
Une application (X, Y ) de Ω dans R 2 , qui à tout ω de Ω fait correspondre un couple (X(ω), Y (ω)) de R 2 , s’appelle un couple de v.a. (où X et Y sont deux variables aléatoires).
(X, Y ) s’appelle aussi v.a. à deux dimensions.
Loi de probabilités conjointes de deux v.a. discrètes :
Un couple de v.a. (X, Y ) peut prendre les valeurs successives : (x 1 , y 1 ); (x 1 , y 2 ); · · · ; (x 1 , y m ); (x 2 , y 1 ); · · · ; (x 2 , y m ); · · ·
· · · ; (x i , y j ) · · · ; (x n , y m )
A chaque couple (x i , y j ) correspond une probabilité p ij d’observer simultanément la valeur x i pour X et la valeur y j pour Y :
p ij = P (X = x i et Y = y j ) = P(X = x i , Y = y j ) On a : 0 ≤ p ij ≤ 1 ; ∀i = 1, 2, · · · , n ; ∀j = 1, 2, · · · , m ; et
n
X
i=1 m
X
j=1
p ij = 1
Fonction de répartition d’un couple de v.a. discrètes :
Définition :
On appelle fonction de répartition d’une v.a. à deux dimensions (X, Y ) la fonction définie par :
F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = X
x
i≤x
X
y
j≤y
P (X = x i , Y = y j )
Loi de probabilité marginales :
La probabilité P (X = x i ) = p i. est appelée loi marginale de X.
On a :
P(X = x i ) = p i. = X
j
p ij , i = 1, 2, · · · , n
La probabilité P (Y = y j ) = p .j est appelée loi marginale de Y . On a :
P (Y = y j ) = p .j = X
i
p ij , j = 1, 2, · · · , m
Loi de probabilité marginales :
X\Y y 1 · · · y j · · · y m X
j
p ij
x 1 p 11 · · · p 1j · · · p 1m p 1.
.. . .. . .. . .. . .. .
x i p i1 · · · p ij · · · p im p i.
.. . .. . .. . .. . .. .
x n p n1 · · · p nj · · · p nm p n.
X
i
p ij p .1 · · · p .j · · · p .m 1
Loi conditionnelle de v.a. discrètes :
La loi conditionnelle de X sachant Y = y j est définie par :
P (X/Y = y j ) = P(X = x i , Y = y j ) P(Y = y j )
De même, la loi conditionnelle de Y sachant X = x i est définie par :
P (Y /X = x i ) = P (X = x i , Y = y j )
P (X = x i )
Indépendance de deux variables aléatoires discrètes :
Les variables aléatoires discrètes X et Y sont indépendantes si : P (X = x i , Y = y j ) = P (X = x i ).P (Y = y j )
∀i = 1, 2, · · · , n, ∀j = 1, 2, · · · , m Dans ce cas,
P (X/Y = y j ) = P (X = x i ) et P (Y /X = x i ) = P (Y = y j ).
Les variables aléatoires X et Y sont donc indépendantes si : P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x).P (Y ≤ y) ou encore si :
F (x, y) = F X (x).F Y (y)
Loi de probabilités conjointes de deux v.a. continues :
Une v.a. à deux dimensions Z = (X, Y ) est dite continue s’il existe une application f (x, y) appelée densité de probabilité conjointe du couple de v.a. (X, Y ), vérifiant :
1
f (x, y) ≥ 0; ∀(x, y) ∈ R 2
2
