Chapitre 1: Exercices

Chapitre 1: Exercices

Prof. Mohamed El Merouani

Université Abdelmalek Essaâdi Faculté des Sciences de Tétouan Département de Mathématiques

https://elmerouani.jimdofree.com/calcul-des-probabilités

2020/2021

Exercices :

Exercice 1 :

Soient (X_n)n∈N et(Y_n)n∈N deux suites de variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité (Ω,A, P).

1 Montrer que si la suite(X_n)n∈N converge en loi vers une variable aléatoireX, et si(Y_n)n∈N converge en loi vers0, le produit X_nY_n converge en loi vers0. Donner une condition moins restrictive sur la suite(X_n)n∈N permettant d’obtenir le même résultat.

2 En déduire que si(Xn)n∈N converge en loi versX et(Yn)n∈N

converge en loi vers une constante a, la suite(X_nY_n) converge en loi versaX.

3 En déduire que si les suites(X_n) et(Y_n) convergent en probabilité respectivement vers X etY, le produit (XnYn) converge en probabilité vers XY.

Exercices :

Exercice 2 :

Soient(Xn)n∈N et(Yn)n∈N deux suites de variables aléatoires réelles sur (Ω,A, P) convergeant en loi respectivement versX etY.

1 On suppose que pour toutn,XnetYn sont indépendantes et que X etY sont indépendantes. Démontrer queX_n+Y_n converge en loi versX+Y. Donner un exemple montrant que l’hypothèse d’indépendance est indispensable.

2 On suppose que Y = 0. Prouver que X_n+Y_n converge en loi vers X etXnYn converge en loi vers0.

Exercices :

Exercice 3 :

Soit une suite de couples aléatoires (Xn, Yn)nqui converge en probabilité vers le couple aléatoire (X, Y)(c’est-à-dire que Xn

−→P X et Y_n−→^P Y). Montrer que :

1 X_n+Y_n−→^P X+Y

2 XnYn P

−→XY

Exercices :

Exercice 4 :

Soit une suite de couples aléatoires (Xn, Yn)ntelle que Xn

−→L X et Y_n−→^P 0(La variableX étant définie sur le même espace probabilisé que les Xn). Montrer que :

1 Xn+Yn

−→L X

2 X_nY_n−→^P 0.

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 1 : 1)• Nous savons que XnYn

−→P 0⇔XnYn

−→L 0 P(|X_nYn|> ε) =P(|Y_n|> _|X^ε

n|) Soit un réel M >0, on a : P(|X_nYn|> ε) =P({|Y_n|> _|X^ε

n|} ∩ {|X_n| ≤M})+

+P({|Y_n|> _|X^ε

n|} ∩ {|X_n|> M}) or {|Y_n|> _|X^ε

n|} ∩ {|X_n| ≤M} ⊂ {|Y_n|> _M^ε} donc P(|X_nY_n|> ε)≤P(|Y_n|> _M^ε) +P(|X_n|> M)

choisissons un nombreM tel que M et−M soient des points de continuité de la fonction de répartition de X et queP(|X|> M)< ^ε₃; Comme X_n−→^L X, il existen₀ ∈N, tel que n > n₀ implique

|P(|X_n|> M)−P(|X|> M)|< ^ε₃

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 1 : Comme Yn

−→L 0, il existen1∈N, tel que n > n1 implique P(|Y_n|> _M^ε)< ₃^ε

Sin >sup(n₀, n₁),P(|X_nY_n|> ε)< ^ε₃ +^ε₃ +^ε₃ =ε

Donc la suite (XnYn) converge en probabilité et donc en loi vers0.

• La condition sur(X_n) qu’on avait étaitX_n−→^L X et que l’on a utilisé seulement pour minorer l’expressionP(|X_n|> M)< ε; le résultat reste vrai donc sous la seule condition :

∀ε∃M∃n₀ tels que ⇒P(|X_n|> M)< ε;

intuitivement, il ne faut pas qu’il y ait "fuite" de probabilité à l’infini.

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 1 :

2) Par hypothèse Y_n−aconverge en loi vers0; d’après1) Xn(Yn−a) =XnYn−aXnconverge en loi vers 0.

Soit Lune distance de la convergence en loi ; ce qui précède s’exprime L(X_nY_n, aX_n) ^−→

n→+∞0, et comme

L(X_nY_n, aX)≤ L(X_nY_n, aX_n) +L(aX_n, aX), il résulte que L(X_nYn, aX) ^−→

n→+∞0.

3) On a (XnYn−XY) = (Xn−X)Yn+X(Yn−Y);

commeXn−X etYn−Y tendent en probabilité, donc en loi, vers0, donc, d’après 1)on obtient que(X_n−X)Y_n etX(Y_n−Y) tendent en probabilité vers 0, d’où le résultat.

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 2 :

1) • On utilise les fonctions caractéristiques : E e^it(Xn+Yn)

=E e^itXn

E e^itYn

carX etY indépendantes

−→

n→+∞E e^itX

E e^itY

=E e^it(X+Y)

carX etY indépendantes.

Donc (Xn+Yn)n converge en loi versX+Y.

• Exemple montrant que l’hypoyhèse d’indépendance est indispensable : Soit une v.a. X N(0,1)et on poseX_n=X etY_n=−X.

On a ainsi X_n−→^L X etY_n−→^L X etX_n+Y_n= 0

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 2 : 2) • ∀x∈Ret∀ε >0

{X_n≤x−ε} ∩ {|Y_n| ≤ε} ⊂ {X_n+Y_n≤x}

En considérant les événements contraires, on aura : {X_n+Yn> x} ⊂ {X_n> x−ε} ∪ {|Y_n|> ε}

Si on prend les probabilités, on aura :

P(X_n+Y_n> x)≤P(X_n> x−ε) +P(|Y_n|> ε) donc P(Xn≤x−ε)≤P(Xn+Yn≤x) +P(|Y_n|> ε) d’où F_Xn(x−ε)≤F_Xn+Yn(x) +P(|Y_n|> ε) (a)

De même, on montre queF_Xn+Yn(x)≤F_Xn(x+ε) +P(|Y_n|> ε) (b) De (a) et (b), on obtient :

F_Xn(x−ε)−P(|Y_n|> ε)≤F_Xn+Yn(x)≤F_Xn(x+ε) +P(|Y_n|> ε) La fonction F_Xn étant croissante, on déduit l’encadrement :

|F_Xn+Yn(x)−FXn(x)| ≤FXn(x+ε)−FXn(x−ε) +P(|Y_n|> ε)

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 2 :

On considère alors x point de continuité de F_X. On peut choisir εaussi petit que l’on veut avec de plus x−εetx+εpoints de continuité de FX etFX(x+ε)−FX(x−ε)arbitrairement petit. Pour de tels xetε, on a :lim

n |F_Xn+Yn(x)−F_X(x)| ≤F_X(x+ε)−F_X(x−ε) On en déduit que F_Xn+Yn(x)→F_X(x)

etXn+Yn

−→L X

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 2 :

• On va montrer, maintenant, que le produitXnYn converge en probabilité vers 0.

Pour tout entier k

{|X_n|< k} ∩ {|Y_n|< _k¹2} ⊂ {|X_nYn|< _k¹}

et donc {|X_nY_n| ≥ ¹_k} ⊂ {|X_n| ≥k} ∪ {|Y_n| ≥ _k¹₂}

Il s’en suitP(|X_nYn| ≥ _k¹)≤P(|X_n| ≥k) +P(|Y_n| ≥ _k¹2)

Soit ε >0. La suite (Xn)n étant convergente en loi, donc, quel que soit n,P(|X_n| ≥k)< ε, sik est suffisamment grand. D’autre part, la suite (Yn)n convergente en loi vers une constante, converge en probabilité vers cette constante, donc P(|Y_n| ≥ _k¹₂)< εsinsuffisamment grand.

Finalement, ∀k∈N, P(|X_nY_n| ≥ ¹_k) ^−→

n→+∞0, la suite(X_nY_n) converge en probabilité, et donc en loi, vers0.

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 3 :

1) Considérons l’inégalité suivante, valable pour tout n≥1et tout ε >0:

P(|X_n+Yn−X−Y|>2ε)≤P(|X_n−X|> ε) +P(|Y_n−Y|> ε) Le résultat en découlent en laissant εfixe et en faisant tendrenvers l’infini.

2) Considérons l’inégalité suivante, valable pour tout n≥1et tout ε >0:

P(|X_nY_n−XY|>3ε)≤P(|X_n−X||Y|> ε) +P(|Y_n−Y||X|>

ε) +P(|X_n−X||Y_n−Y|> ε)

Majorons le premier terme du second membre ; on a pour tout ε >0 et toutA >0 :

P(|X_n−X||Y|> ε)≤P(|X_n−X|> _A^ε) +P(|Y|> A)

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 3 :

On peut choisir A assez grand pour queP(|Y|> A)< η; le nombreA étant ainsi choisi, on peut prendre nassez grand pour que

P(|X_n−X|> _A^ε), de sorte queP(|X_n−X||Y|> ε)<2η.

Le deuxième terme du second membre se traite de la même façon.

Enfin, le troisième terme du second membre tend vers 0 lorsquentend vers l’infini, puisque

P(|X_n−X||Y_n−Y|> ε)≤P(|X_n−X|>√

ε) +P(|Y_n−Y|>√ ε)

Corrigés :

Corrigé de l’exercice 4 :

1) On a, comme vue dans un exercice avant, pour toutη >0, l’inégalité :

|F_Xn+Yn(x)−FXn(x)| ≤FXn(x+η)−FXn(x−η) +P(|Y_n|> η) On conclut, en prenant pour x, x−η, x+η (η >0) des points de continuité de la fonction de répartition F de X et en laissant tendre n vers l’infini.

2) On a, pour tout A >0 et toutε >0, P(|X_nY_n|> Aε)≤P(|X_n|> A) +P(|Y_n|> ε) Puisque Xn

−→L X (oùX est une v.a.), le premier terme du second membre peut être rendu inférieur à η pourA, n assez grands.

Puisque Yn P

−→0, le second terme tend vers 0, lorsquen tend vers l’infini.

Ces deux points permettent de conclure.