UNIVERSIT´E LILLE 1 M22-MIMP
2013-2014 Groupe 12
Interrogation du 6 f´evrier 2014
Exercice 1
Calculer les d´eterminants suivants :
cost −sint sint cost ,
0 0 1 1 0 0 0 1 0
Exercice 2 Soit A=
3 1 −2 0 2 0 1 1 0
.
1. R´esoudre le syst`eme lin´eaire (A − λI3)
x y z
=
0 0 0
de param`etre λ ∈ R. V´erifier en particulier que ce syst`eme admet une unique solution si et seulement si λ /∈ {λ1;λ2}, o`uλ1 et λ2 sont deux valeurs `a d´eterminer (avecλ1 < λ2).
2. SoitP =
1 2 −1 0 0 1 1 1 0
: montrer que P est inversible et calculer P−1.
3. On pose D=P−1AP. Montrer que D=
λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ2
et calculer Dn pour tout n ∈N∗.
4. Exprimer A en fonction de P, P−1 et D. En d´eduire que ∀n ∈ N∗, An = P DnP−1 et expliciter la matrice An en fonction den.
